第13讲 对数-【A+课堂】2021-2022学年高一数学同步精讲精练（沪教版2020必修第一册）

第13讲 对数 知识一 对数的定义 1.对数的定义 在a>0,a≠1，且N>0的条件下，唯一满足ax＝N的数x，称为N以a为底的对数（logarithm），并用符号logaN表示，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 注：在对数的定义中为什么不能取a≤0及a＝1呢？ (1)a<0，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使＝2成立，所以a不能小于0. (2)a＝0，N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义logaN；N＝0时，任意非零实数x，有ax＝N成立，logaN不确定． (3)a＝1，N≠1时，logaN不存在；N＝1，loga1有无数个值，不能确定． 2.常用对数与自然对数 3.对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系： (1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x. (2)对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． 注：不是任何一个指数式都可以化为对数式，只有底数大于零且不等于1时才可互化． 4.对数的性质 1．loga1＝0(a>0，且a≠1)． 2．logaa＝1(a>0，且a≠1)． 3．零和负数没有对数. 题型一、指数式与对数式的互化 【例1】将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式： (1)33＝27；(2)＝－3； (3)；(4)lg 1 000＝3. 【答案】（1）log327＝3;（2）；（3）＝－2；（4）103＝1 000. 【解析】(1)因为33＝27，所以log327＝3. (2)因为＝－3，所以. (3)因为，所以＝－2. (4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000. 方法总结:指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 题型二、对数的计算 【例2】求下列各式的值． ①log981＝________. ②log0.41＝________. ③ln e2＝________. 【答案】①2　②0　③2 【解析】①设log981＝x，所以9x＝81＝92， 故x＝2，即log981＝2. ②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40， 故x＝0，即log0.41＝0. ③设ln e2＝x，所以ex＝e2， 故x＝2，即ln e2＝2. 方法总结:对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想 在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解． (2)基本方法 (1)设logaN＝x. (2)将logaN＝x写成指数式ax＝N. (3)将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则x＝b，即logaN＝b.　 题型三、对数方程 【例3】(1)求下列各式中x的值． ①log27x＝－； ②logx16＝－4. 【答案】①；　②.　 【解析】　①由log27x＝－得，x＝＝＝3－2＝. ②由logx16＝－4，得x－4＝16，即x4＝＝,又x>0，且x≠1，所以x＝. (2)求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3)x＝. 【答案】(1)5；　(2)1000; (3).　 【解析】(1)因为log2(log5x)＝0，所以log5x＝20＝1， 所以x＝51＝5. (2)因为log3(lg x)＝1，所以lg x＝31＝3， 所以x＝103＝1 000. (3)x＝＝7÷＝7÷5＝. 拓展延伸 把本例(2)中的“log2(log5x)＝0”改为“log2(log5x)＝1”，求x的值． 【答案】25. 【解析】因为log2(log5x)＝1， 所以log5x＝2，则x＝52＝25. 方法总结:利用对数的性质求值的方法 (1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算． (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解． 举一反三 1．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　) A．a>且a≠1 B．0<a< C．a>0且a≠1 D．a< 【答案】B 【解析】由题意知解得0<a<. 2．已知logx16＝2，则x等于(　　) A．4 B．±4 C．256 D．2 【答案】A 【解析】改写为指数式x2＝16，但x作为对数的底数，必须取正值，所以x＝4. 3．已知＝x，则x等于(　　) A．－8 B．8 C．4 D．－4 【答案】B 【解析】由题意得，()x＝81,＝34，