第12讲 幂与指数-【A+课堂】2021-2022学年高一数学同步精讲精练（沪教版2020必修第一册）

第12讲 幂与指数 知识一 指数幂的拓展（1） 1.a的n次幂的定义 如果a是一个实数，n是一个正整数，那么称an为a的n次幂.正整数指数幂满足如下的运算性质： 对任意给定的实数a、b及正整数s、t，以下成立 （1）asat＝as＋t, （2）(as)t＝ast, （3）(ab)t＝atbt． 定义：a0=1，a-n=. 2.a的n次方根的定义 一般地，如果n大于1的整数，且xn＝a，那么x叫做a的n次方根. 3.a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 4.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 5.根式的性质 (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作. (3)()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)＝a(n为大于1的奇数)． (5)＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 题型、n次方根的化简与计算 【例1】求使等式成立的实数a的取值范围． 【答案】[-3,3] 【解析】， 要使|成立， 需解得a∈[－3,3]． 要点：对于，当n为偶数时，要注意两点 (1)只有a≥0才有意义． (2)只要有意义，必不为负． 【例2】（2020年上海高一必修1教材例题）（1）求的5次方根； （2）求81的4次方根. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）因为，所以 （2）因为任何正数的偶次方根有两个，所以81的4次方根为. 【例3】化简下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】（1）-4；（2）4;（3）当x≥-2时，原式=x+2,当x<-2时，原式= -x-2. 【解析】(1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4. (2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4. (3)原式＝|x＋2|＝ 要点：根式的化简与求值的思路及注意点 1.思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简．　 2.注意点： ①正确区分()n与两式； (1)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围． (2)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性． ②运算时注意变式、整体代换以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行分类讨论． 【例4】已知－3<x<3，求的值． 【答案】当-3<x<1时，原式=-2x-2;当1≤x<3时，原式= -4. 【解析】原式＝ 因为－3<x<3，所以当－3<x<1时， 原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2； 当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4. 综上所述，当-3<x<1时，原式=-2x-2;当1≤x<3时，原式= -4. 拓展延伸 本例中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？ 【答案】4. 【解析】原式＝ 因为x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0， 故原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4. 方法总结:有限制条件根式的化简 (1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负． 举一反三 1.下列各式正确的是(　　) A.　　　　 B. C. D. 【答案】C 【解析】由于，，，故A，B，D项错误，故选C. 2.化简＝________． 【答案】a－1 【解析】由a－1≥0，a≥1.故原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1. 3.若，则实数a的取值范围为________．　 【答案】a≤ 【解析】， 因为|2a－1|＝1－2a， 故2a－1≤0，所以a≤. 4.求下列各式的值． (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 【答案】（1）-2；（2）；（3）π-3；（4）. 【解析】(1)＝－2. (2). (3)＝|3－π|＝π－3. (4)原式＝. 当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0； 当x＜y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)． 所以原式＝ 5.已知－1<x<2，求的值． 【答案】1-2x. 【解析】原式＝ 因为－1<x<2，所以x＋1>0，x－2<0， 所以原式＝2－x－x－1＝1－2x. 知识二 指数幂的拓展（2） 1.分数指数幂 （1）规定正数的正分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)． （2）规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)． （3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 2.有理数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0