第11讲 三角不等式及其应用-【A+课堂】2021-2022学年高一数学同步精讲精练（沪教版2020必修第一册）

第11讲 三角不等式及其应用 知识梳理 三角不等式 定理（三角不等式） 对任意的实数a、b，有，且等号当且仅当ab≥0时成立. 另有： 题型探究 题型一、三角不等式概念辨析 【例1】ab<0,则有① ② ③ ④四个式中正确的是（ ） A.①② B. ②③ C. ①④ D.②④ 【答案】C. 【解析】对于①，因为ab<0,即a、b同号且都不为0，则，故①成立； 对于②，因为ab<0,即a、b同号且都不为0，则，故②不成立； 对于③，因为绝对值不等式,故③不成立； 对于④，因为绝对值不等式,故④成立.故选C. 【例2】不等式成立的充要条件是（ ） A.ab≠0 B. a2+b2≠0 C.ab>0 D.ab<0 【答案】B. 【解析】因为，要保证分母不等于0，所以a、b不能同时为0，即a2+b2≠0 ，所以 ，两边平方得2ab≤2|a||b|，不等式恒成立，故选择B. 题型二、利用三角不等式比较大小 【例3】a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　　) A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab| C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab| 【答案】A 【解析】∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0， ∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)． 题型三、利用三角不等式证明不等式 【例4】（2020年上海高一必修1教材例题）设a、b为实数，求证： 【答案】证明过程见解析. 【解析】证明：因为2a=(a+b)+(a-b),由三角不等式可得， ，即 举一反三 1.（2020年上海高一必修1课时练习）实数a、b满足，则a、b之间的关系是 . 【答案】ab<0 【解析】因为，所以(a+b)2<(a-b)2,即a2+2ab+b2<a2-2ab+b2,所以4ab<0,故ab<0. 2.（2020年上海高一必修1课时练习）如果那么（ ） A.a-c<b B. a>c-b C. D. 【答案】D 【解析】因为则故，D正确； 取a=c=1,b=-1,知A、B项错误；取a=c=1,b=3,知C项错误； 故选D. 3.（2020年上海高一必修1课时练习）若a，b∈R,则使得成立的充分非必要条件是（ ） A. B. C. a≥1 D.b<-1 【答案】D 【解析】选项A,若成立，取a= -1,b=0,此时不成立，故A不正确； 选项B,若且成立，取a=,b=，此时不成立，故B不正确； 选项C,若a≥1成立,取a= 1,b=0，此时不成立，故C不正确； 选项D,若b<-1成立,则成立，此时成立，反之不成立，比如a=2,b=0,故D正确； 故选D. 4.（2020年上海高一必修1课时练习）已知比较大小： 2. 【答案】< 【解析】当(a+b)(a-b)≥0， 当(a+b)(a-b)≤0，综上可知， 5.（2020年上海高一必修1教材练习）设a、b为实数，求证： 【答案】证明过程见解析. 【解析】证明：因为2b=(a+b)-(a-b),由三角不等式可得， ，即 6.（2020年上海高一必修1教材练习）已知实数a、b满足求证： （1） （2） 【答案】证明过程见解析. 【解析】证明：（1）由三角不等式， （2）由三角不等式， 题型四、含参数不等式的恒成立与有解问题 分离变量法： 通过参变分离，将问题转化为a≥f(x)（或a≤f(x)）求最值： a≥f(x)对x∈D恒成立a≥[f(x)]max; a≤f(x)对x∈D恒成立a≤[f(x)]min; a≥f(x)对x∈D有解a≥[f(x)]min; a≤f(x)对x∈D有解a≤[f(x)]max; a≥f(x)对x∈D无解a<[f(x)]min; a≤f(x)对x∈D无解a>[f(x)]max; 【例5】（2020年上海高一必修1教材例题）证明：对所有实数x恒成立，并求等号成立时x的范围. 【答案】证明过程见解析. 【解析】证明：因为,利用三角不等式，有 且等号当且仅当(x-3)(5-x)≥0，即(x-3)(x-5)≤0时成立.因此，当且仅当x∈[3,5]时，等号成立. 【例6】（1）（2020年上海高一必修1课时练习）若关于x的不等式对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为,利用三角不等式，有 因为对一切x∈R恒成立，所以a≥1即可. （2）（2020年上海高一必修1课时练习）若关于x的不等式无实数解，则实数