第10讲 平均值不等式及其应用-【A+课堂】2021-2022学年高一数学同步精讲精练（沪教版2020必修第一册）

第10讲 平均值不等式及其应用 知识梳理 平均值不等式 1．定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立． 其中叫做正数a、b的算术平均值，叫做正数a、b的几何平均值． 2．定理（常用不等式）：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立． 3.活用几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a、b∈R)； (2)(a、b同号)； (3)(a、b∈R)． 4.利用基本不等式求最值问题 已知x＞0，y＞0，则 (1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是(简记：积定和最小)； (2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 总结：应用平均值不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错． 运用以上结论求最值要注意下列三个条件: ①一正:要求各数均为正数    ; ②二定:要求和或积为定值    ; ③三相等:要保证具备等号   成立的条件. 5.重要不等式链 1）若a≥b＞0，则a≥≥≥≥≥b. 2）设a>0,b>0,则有≤≤≤(当且仅当a=b时取等号). 其中为调和平均值,为几何平均值,为算术平均值,为平方平均值. 题型探究 题型一、平均值不等式概念辨析 【例1】下面四个推导过程正确的有 （1）若a、b为正实数，则； （2）若a∈R，a≠0，则； （3）若x，y∈R，xy<0，则； （4）若a<0，b<0，则. 【答案】（1）（3）　 【解析】（1）中，因为a，b为正实数，所以为正实数，符合基本不等式的条件，故（1）正确； （2）中，因为a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， 所以是错误的． （3）中，由xy<0，得均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故（3）正确； （4）中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即，所以（4）不正确． 举一反三 1.不等式a+1≥2(a>0)中等号成立的条件是(　　) A.a=0 B.a= C.a=1 D.a=2 【答案】C 【解析】由题意知a=1.故选C. 2．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2 C. D． 【答案】D 【解析】∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误． 对于B、C，当a＜0，b＜0时，不符合基本不等式的条件，明显错误． 对于D，∵ab＞0，∴.故选D. 3．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是(　　) A. B. C. D． 【答案】B 【解析】因为ab≤，所以，当且仅当a＝b＝2时等号成立． 4.下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x>1，则； ②若x<0，则； ③若a，b∈R，则. 【答案】② 【解析】①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝，即x＝1时，等号成立， 因为x>1，所以x＋>2； ③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件． 题型二、利用平均值不等式比较大小 【例2】(1)如果0<a<b<1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　　) A．P>Q>M B．M>P>Q C．Q>M>P D．M>Q>P 【答案】B 【解析】∵a>0，b>0，∴≥， 当且仅当a＝b时，等号成立， 又∵0<a<b，∴取不到等号，∴>， 又因为<，（由a+b>,也就是） 所以>>.故M>P>Q.故选B. (2)设a，b为非零实数，给出下列不等式： ①；②；③；④. 其中恒成立的是________．(填序号) 【答案】　①② 【解析】由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确； ，可知②正确； 当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1， 右边为＝－，可知③不正确； 当a＝1，b＝－1时，可知④不正确． 方法总结：运用平均值不等式比较大小的注意点 (1)要灵活运用平均值不等式，特别注意其变形． (2)应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 举一反三 1.（2020上海高一课时练习）若，则中最大的一个是___________ 【答案】x+y 【解析】因为x2+y2≥2xy;x+y≥;又因为，所以x2+y2<x+y,所以最大的一个是x+y. 2.（2020上海高一课时练习）设实数满足，则中最大的是______ 【答案】a2+b2 【解析】因为a+b=1,a+b>2;所以2ab<, 又因为a2+b2>, 又因为0<a<b,且a+b=1，所以a<，所以最大的是a2+b2