专题三 三角形形状的判定问题-2022年高考数学之解密解三角形命题点对点突破（全国通用）

专题三　三角形形状的判定问题 【方法总结】 利用正、余弦定理判断三角形形状的两种思路 (1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 正(余)弦定理是转化的桥梁，无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．特别地，在△ABC中，c是最大的边，若c2<a2＋b2，则△ABC是锐角三角形；若c2＝a2＋b2，则△ABC是直角三角形；若c2>a2＋b2，则△ABC是钝角三角形． 【例题选讲】 [例1](1)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形　　B．直角三角形　　C．等腰三角形或直角三角形　　D．等腰直角三角形 答案　B　解析　∵cos2＝，∴＝，即1＋cos B＝．由余弦定理得1＋＝．整理得c2＝a2＋b2，即△ABC为直角三角形． (2)在△ABC中，若tanAtanB>1，则△ABC是(　　) A．锐角三角形　　　　B．直角三角形　　　　C．钝角三角形　　　　D．无法确定 答案　A　解析　因为A和B都为三角形中的内角，由tanAtanB>1，得1－tanAtanB<0，且tanA>0，tan B>0，即A，B为锐角，所以tan(A＋B)＝<0，则A＋B∈，即C为锐角，所以△ABC是锐角三角形． (3)若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，则△ABC(　　) A．一定是锐角三角形　　　　　　　　B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形　　　　　　　　D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 答案　C　解析　根据正弦定理＝＝，又sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，∴a∶b∶c＝5∶11∶13，设a＝5t，b＝11t，c＝13t(t≠0)，∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴cos C＝＝＝－<0，∴角C为钝角．故选C． (4)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB＋acosC＝b＋c，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形　　　B．锐角三角形　　　C．钝角三角形　　　D．直角三角形 答案　D　解析　法一：由余弦定理及已知得a×＋a×＝b＋c，所以a2b＋c2b－b3＋a2c＋b2c－c3＝2b2c＋2bc2，得b2＋c2＝a2，故A＝90°，所以△ABC为直角三角形． 法二：由正弦定理得acosB＋acosC＝b＋c，即sinAcosB＋sinAcosC＝sinB＋sinC，即sinAcosB＋sinAcosC＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)，化简得cosA(sinB＋sinC)＝0，在△ABC中，sinB＋sinC≠0，则cosA＝0，所以△ABC为直角三角形． (5)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形　　B．等腰直角三角形　　C．等腰三角形或直角三角形　　D．直角三角形 答案　C　解析　∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB． 方法一　由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B．在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 方法二　由正弦定理、余弦定理得：a2b＝b2a，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0．即a＝b或a2＋b2＝c2．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． (6)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若tanA∶tanB＝a2∶b2，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形　　B．等腰直角三角形　　C．等腰三角形或直角三角形　　D．直角三角形 答案　C　解析　因为∶＝a2∶b2＝sin2A∶sin2B，所以＝，整理得sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2