专题十 解三角形综合问题-2022年高考数学之解密解三角形命题点对点突破（全国通用）

专题十　解三角形综合问题 考点一　正、余弦定理与三角函数结合的问题 【方法总结】 解三角形与三角函数交汇问题一般步骤 【例题选讲】 [例1]已知函数f(x)＝cos＋(sinx＋cosx)2． (1)求函数f(x)的最大值和最小正周期； (2)设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a＝2，c＝，f＝，求b的值． 解析　(1)f(x)＝cos 2x－sin 2x＋(1＋sin 2x)＝sin＋， 所以f(x)的最大值为1＋，最小正周期T＝π． (2)因为f＝sin＋＝cos＋＝， 所以cos＝0，因为0<C<π，所以C＝． 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，可得b2－2b－3＝0，因为b>0，所以b＝3． [例2]已知f(x)＝cosxsin＋1． (1)求f(x)在[0，π]上的单调递增区间； (2)在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，且f(B)＝，sinAsinC＝sin2B，求a－c的值． 解析　f(x)＝cos xsin＋1＝cos x＋1 ＝sin 2x－×＋1＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋． (1)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈[0，π]， ∴f(x)在[0，π]上的单调递增区间是和． (2)由f(B)＝sin＋＝，得sin＝1．又B是△ABC的内角，∴2B－＝，得B＝． 由sin Asin C＝sin2B及正弦定理可得ac＝b2．在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得ac＝(a－c)2＋2ac－ac，则a－c＝0． [例3]已知函数f(x)＝sin2x－cos2x＋2sinxcosx(x∈R)． (1)求f(x)的最小正周期； (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，c＝5，cosB＝，求△ABC中线AD的长． 解析　(1)f(x)＝－cos2x＋sin2x＝2sin．∴T＝＝π．∴函数f(x)的最小正周期为π． (2)由(1)知f(x)＝2sin，∵在△ABC中f(A)＝2，∴sin＝1， ∴2A－＝，∴A＝．又cos B＝且B∈(0，π)，∴sin B＝， ∴sin C＝sin(A＋B)＝×＋×＝， 在△ABC中，由正弦定理＝，得＝，∴a＝7，∴BD＝． 在△ABD中，由余弦定理得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B＝52＋－2×5××＝， 因此△ABC的中线AD＝． [例4]已知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)cos(π＋x)－． (1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间； (2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsinC＝asinA，求△ABC的面积． 解析　(1)f(x)＝cos2x－sinxcosx－＝－sin2x－＝－sin， 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又∵x∈[0，π]， ∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和． (2)由(1)知f(x)＝－sin，∴f(A)＝－sin＝－1， ∵△ABC为锐角三角形，∴0<A<，∴－<2A－<，∴2A－＝，即A＝． 又∵bsin C＝asin A，∴bc＝a2＝4，∴S△ABC＝bcsin A＝． [例5]已知f(x)＝12sincosx－3，x∈． (1)求f(x)的最大值、最小值； (2)CD为△ABC的内角平分线，已知AC＝f(x)max，BC＝f(x)min，CD＝2，求C． 解析　(1)f(x)＝12sincos x－3＝12cos x－3 ＝6sin xcos x＋6cos2x－3＝3sin 2x＋3cos 2x＝6sin， ∵f(x)在上是增函数，在上是减函数，又f(0)＝3，f ＝3． ∴f(x)max＝f ＝6，f(x)min＝3． (2)在△ADC中，＝，在△BDC中，＝， ∵sin∠ADC＝sin∠BDC，AC＝6，BC＝3， ∴AD＝2BD．在△BCD中，BD2＝CD2＋BC2－2CD·BC·cos＝17－12cos， 在△ACD中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos ＝44－24cos， 又AD2＝4BD2，∴44－24cos＝68－48cos，∴cos＝，∵C∈(0，π)，∴C＝． [例6]已知函数f(x)＝sin2ωx－sin2，函数f(x)的图象关于直线x＝π对称． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，f ＝，求△ABC面积的最大值． 解析　(1)f(x)＝－cos2ωx－＝cos－cos2ωx ＝－cos2ωx＋sin2ωx＝sin． 令2ωx－＝＋kπ，k∈Z，解得x