第7章 平面向量-2022全国重点大学招生【强基计划】数学解难

参考答案 8.BD如图所示,由对称 性,不妨设过G的直线交 角形于AB、AC.设交点 为D、E.设 AD AE 则因为G为重心,有AG ∴AB=(0,-1),AD=(-2,0), AD+-A AP sin g AP=A AB+u AD 那么D、G、E三点共线1 COS0=2-sin(0+中) →y∈L3,2(基本不等式和端点取值)又 其中tan AD AE AB AC xyS△ABC,故两部分面积比 .D a+tb =va2+2b2+2tab 最小值为4,最大值为 所以|a+bm=√1-m2,选D 评析:这里有一个小结论:DE过点G时,ABAC为定 5.B由xa+yb+ze=(1,1)得 值3.如果知道这个结论,或者有往这方面想的话,再用 向量工具做,是较为容易给出证明的.但此题取最大值 由于x2+y2+g2 和最小值时所取的直线是相同的,考试时猜到了这条直 线的话也可以选了选项就跳吧 9.BCDA选项,两个向量相乘应得实数,A错误;B选项 换看成关于x,y+x,y- 直接验证有 个变量,变形 cos mn co √ nn cos;C选项,直接验证有 (y+x)+(y=x)=x2+2(x-12+2=3x2-4x+8= x-3)+3,答案B 2√mn(1+cos)=4√msin2;D选项,直接验 2b+|a+2b(*) 又|a-2b|2+|a+2b2=2(a|2+|2b12)≤10 证有{a+b2|2 ∴由柯西不等式知(兴)右≤2√5 2vm(1-c)=4m,故本题选BCD ∴|c|≤25,当a=(0,1),b=(1,0)时取到, 若|c=0,则只需a⊥b,即可符合题意 评析:定义了新概念,要仔细读题.整体上来说考点很基 若C'|=0,则不需要a⊥b即可符合题意,所以选B、C. 础,只是证明中用了基本不等式 7.D过O点作AC的垂 10.C由角平分线定理,DC 垂足D为AC中点,则OC AB 2 A=DC·CA 1b2.剩下两 -鸽-3一故A=n∠ 个点积的值同理得到,原B AD CAB+BD) AB+=BC) 式的值为 9AB+gBC,则3+6x=3 评析:这类向量点积的问题,作垂线投影是经常使用的 方法和技巧,尤其是在出现了外心的向量问题当中,大 评析:平面向量间题,活用角平分线定理,或者直接记 家要引起重视 住内心的相关结论即可 全国重点大学招生强基计划数学解难 11.A根据向量相乘的几何意义,有 DB·DA=0.EB·EA (x-23)+4≥4,(x2+y+)m=3 BC|2, +y°取最小值 FB·FA FB|· 答案 4.解析:如图上所示: 方法1:∵AC+B 评析:考查向量点乘的几何意义 4 AC-4 AB. AC+ AB=5 AB-4 2cOs A=24, 12.AC由a+2b|≥a-2bc|≥|c|-a-2b得 △ABC AB sin A c|≤a+2b+a-2b,令m=a+2b,n=a-2b, 则|m|,n分别是以a,2b为邻边的平行四边形的对角 sin A 的几何意 COs A 线的长,则 为单位圆上的点和 连线的斜率.(如图2) ≤√8.所以(m|+|n1)mx=4√2 所以S△ABC的最大值为4 当且仅当a|=2,b=1且a⊥b时所得此最大值.所 cms=42;显然a=0且b=0时c=0. 所以c 13.ABCD首先 两边平方得 D 1+1+2cos∠APC=1所以∠APC 理 是△ABC的费马点,作△ABC的形2 外正△BCD和正△ABE.显然:P 方法2:如图3所示,设等腰 恰为AD、CE的交点,且D、B、E共 △ABC底边上的高AO=h, 线.由∠APB=∠ABD=120°知 底角α为锐角,设OC=x △APB∽△ABD.所以AP_AB= =CD=2x,由三角形法则 得AD=2√6,S△ABC=hx 图3 AB=1.即P=21PA;同理:PC=BC=BC=2 x√24-(3x) 即PC|=2PB.综上,选A、B、C、D. 二、填空题 面积S取最大值4. 1.解析:由于AB·BP=AB·(BO+OP)=AB·BO 答案:4 AB·OP,其中AB·BO为一8,AB·OP的最大值当AB 5.解析:方法1:不妨设e=(1,0).由于a·e=2,可设 与OP同向时取到,为12,所以最大值为4 a=(2,s),则对任意实数t,有4+=a≤5|a+e 答案:4 5√(2+1)2+4+2≤5|s},解得|s∈[1,4 评析:向量问题的老套路:把向量拆成两个向量的和,再 做处理 即∈[16于是a=√4+∈[5,25] 2.解析:由向量数量积的几何意义以及勾股定理,AB·AC 法2:设|a|=x,原题转化为x≤25(x2+t2+41)→ 25(12+41)≥x-25x2台-100≥x +BA·BC+CA·CB=|