第4章 微积分初步-2022全国重点大学招生【强基计划】数学解难

参考答案 3.D分析试题:这类题多用数形结合方法来解题 第四章微积分初步 一、选择题 y=ar 1.D球的体积增长速度为:Iim V"(1),球的面积增 长速度为:1m25=s(1) 作出y=|f(x)与y=ax的图像,因为f(x)|≥ax 由题意可知球的体积为V(t)=R(t),则c=V(t) 所以y=|f(x)的图像要在y=ax图像上方 当x≤0时,f(x) 4πR(t)R(t),由此可得 R( 4R(t) 即找到y=x2-2x,x≤0与y=ax相切的a, S(t)=4πR(t) 所以方程x2-2x=ax的△=0得a=-2 S'(t)=(4R2(t))′=8πR(t)R'(t) 直线y=-2x绕(0,0)逆时针转到直线y=0,故选D. "O-BR(OR(-BxROD" RO 4.B方法1:当a=0时,显然f(x)有2个零点,不符合 题意 2.C方法1:对于A.当x→+∞,f(x)→+∞ 当a>0时,f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2)易知函数 ∫(x)在(一∞,0)上单调递增 根据根的存在性定理可知函数∫(x)存在零点 方法2:对于B.因为f(x)=x2+ax2+bx+c f(x)=x2(ax-3)+1→-∞,故不适合题意 b /(x) 上单调递减 令f(x)=6x+2a=0→x 单调递增 2a3-9ab+27c 在(0,十∞)上单调递减,只需∫()>0就满足题意 故∫(x)的图像关于点 2a3-9ab+27C)中 由f(-)>0,得 1>0,解得a<-2或a>2 (舍去) 或假设f(x)=x2+ax2+bx+c的对称中心为(m,n),按 故a<-2. 向量a=( 将函数的图像平移,得到函数y=f(x+m)-n是奇函 方法2:由f(x)=0知,a 数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0 ,则关于t的方程 化简得:(3m+a)x2+m2+am2+bm+c-n=0 a=-t+3t有唯一解, 上式对x∈R恒成立,故m n=mtam+bm+ 则g()=-32+ f(-),故对称中心为(- 所以g(t)极小值为g(-1 由g(t)函数特征知a<-2,故选C. 对于C.由题意得f(x)=3x2 方法3:取a=-2,f(x)=-2x2-3x2+1 2ax+b=0较大的根为x, 因为f(-1)=-2(-1)3-3(-1)2+1=0,所以一1是 加一个根为x1,所以由/(x)<0 得x1<x<x,所以∫(x)的单调 函数∫(x)的零点,所以排除D 递减区间为(x1,x) 取a=3,f(x)=3x3-3x2+1, 对于D.根据导数的几何意义可知,若x。是∫(x)的极值 f(-1)=-3-3+1=-5<0,f(0)=1>0 点,则一定有f(x0)=0,故选 所以函数∫(x)在(-1,0)有零点,排除A、C,故选B. 方法2:因为x0是f(x)的极值 方法4:原问题等价于方程ax-3 有且仅有 点,则∫(x)的图像的大致图像 如图所示,则f(x)在区间 根,即y=ax-3与y=-—有一个公共点.数形结合 (-∞,x0)上不单调,故选C 易得a<-2. 全国重点大学招生强基计划数学解难 5.C因为∫(x)的极值点为x0,所以f(x0)=0→ 10.BDf(x)=e(x+3)(x-1),但是要注意 当x趋近于负无穷时,∫(x)正向趋近于0.再通过画图 可知D正确 所以=kx+5(k∈2),即x0=mk+”(∈Z 评析:这个题是个典型的图像题,关键在于画草图 11.AC由f(0)存在知f(x)在x=0处连续 x2+[f(x0)]2<m2→(mk+)2+ 又f(0)=1>0,f(0)=1>0,由函数的连续性知,存在 <m2(k∈Z 实数δ∈(0,1),使得x∈(-8,)时有f(x)>0,A正 即(k+1)3m2+3<m2(k∈D,即(k+1)2<1-3(k∈Z) 确;而对于B,举反例:f(x) 则B错误;由f(0)>0,知存在实数δ∈(0,1) 要使原不等式成立,只需要在k∈Z,使1->(k+ 使得x∈(0,0)时有f(x)>f(0)=1,C正确;构造函数 成立即可 f(x)=x+1,知D错误 又(k+)2最小值为,1 评析:高等数学中的函数连续性的考查.不过较为基 础,仔细思考即可给出正确答案 m<-2或m>2.故选C. 12.BD设f(x)=x2-1,g(x)=lnx则f'(x)=2x 6.A由于(-e+“)=-e“,于是切点横坐标为x=-a, 进而有-(-a)+2=-e“a,解得a=-3 g(x)=x,f(1)=2≠g(1)=1,因此A错误 评析:非常基础的问题,注意计算速度和准确度 7.C令g(x)=1(x) 则g( 因为f(x)满足(x-1)(f'(x)-f(x))>0,所 x<1时,f(x)-f(x)<0, 则g"(x)<0,