第2章 代数式与方程-2022全国重点大学招生【强基计划】数学解难

全国重点大学招生强基计划数学解难 (2)这个n行n列的数表如右表 2.C不妨设a是三个数里面最大的一个,ABC三个选项 A, AAA A:A。A2….A 给出的结果都是正整数,所以我们只考虑(a-b)(b-c) (c-a)大于0的情况.此时可以进一步推出,三个数的 0000 大小关系是:a>c>b.设m=c-b,n=a-c(m,n均为正 整数),则(a-b)(b-c)(c-a)=m( 110000 对于A:m(m+n)=126=2×3×3×7,得到(m,n) (2,7)(7,2),此时126=a+b+c=3b+2+9或3b+7+ 均不可能,A错 00 对于B:mn(m+n)=144=2×2×2×2×3×3,这个方程 是无解的(不妨设m≥n,则144≥n2·2n=2n3,容易放 缩得到m,n中的较小数最大可能值为4,再检验即可 对于C:mn(m+n)=162=2×3×3×3×3,放缩得到 n中的较小数最大可能值为4,检验即可发现(m,n) 根据①,每个A至少含有三个元素,这些元素分别设为 (3,6)或(6,3),于是162=a+b+c=3b+12或3b+15, i2…、i(k≥3),显然它们都属于A2; 这两种情况下均有解,答案选C. 当i∈A; 评析:其实这道题实际上的解的个数是无穷的,不难验 由定义an= 18k3+3k,对任何的正整 可知,数表的第A,列的第i行,第i2行,…,第i。行均 数k,这样的解均是满足题意的.于是这道题的策略就应 为1.故数表的每列至少有3个1 该是逐个选项分析,有一定的难度 3.A根据题意,有 (3)用n表示该数表中的1的个数,由(1)的结论可知 因为数表每列至少有3个1,所以整个数表(共n列)至 少有3n个1,由于表中的数只有0和1两种数,而an和从而a+b-2c=-13 an恰好一个为1,而另一个为0,又an=0,所以数表中共 评析:简单的待定系数法,注意计算不要出错 B由于一元二次方程的虚数根必然共轭,因此可设 有2个1,考查数表中1的总数;一方面,1的总数为 x1=r(cos0+isin0),x2=r(cos0-isin0),从而 个,另一方面,至少有3n个1,因此得不等式 r(cos30+isin30)为实数,进而可得 2≥37,解得:n≥7 第二章代数式与方程 、选择题 ∑ 1.D方法1:由x2=2y+5与 x+5两式作差得 评析:此题综合了复数的相关知识和等比数列求和的公 代入两式中分别化出x2+2x-1=0,y2+2y-1=0. 式,略有难度的地方在于复数的部分,选择使用三角形 式表求复数,是考虑到乘除运算的便利性.学生需要学 所以x,y是方程t2+2t-1=0的两个不等实根, 会,逐渐跳出高考的思维模式,不要养成看见复数题就 于是x+y=-2,xy=-1,故 设代数形式的坏习惯 x2-2x2y2+y2=(x+y)[(x+y)2-3xy]-2(xy) z-3z2=m,则x,y,z是关 t的方程t3-3t2=m的三个实数根,其中m为常数 故选D 由韦达定理可知,x+y+z=3 方法2:由x2=2y+5与y2=2x+5两式作差得 评析:三次方程的韦达定理,没有特别的技巧 6.C设函数f(x)=√4x+1的图 由x2=2y+5与y2=2x+5两式相加得 象,则其导函数∫(x)= 4x+1 x2+y2=2(x+y)+10=(x+y)2-2xy,得xy=- 作出函数∫(x)的图象,函数f(x) 故x3-2x2y2+y2=(x+y)[(x+y)2-3xy]-2(xy) 的图象在x=1处的切线y 点评:考查基本的多项式的变形,掌握常用的多项式 )+2,以及函数 式即可解决 206 全国重点大学招生强基计划数学解难 到(2201-1)x20-2017·2016·x2016+…-1=0,由韦 评析:典型的代数杂题.不过方法较为自然,即将与所 求式子无关的变量用配方的形式消掉,得到一个只与 达定理 2017 原式相关的不等式 理去处理,其中用到单位根的一些知识.此题区分度24.AC整理得{y=2-1 评析:将原式化简,把所求和式转化为多项式的韦达定 xy=4x2-14x+14 较大 4(4x2-14x+14)≤(2x-1)2,解得1≤x≤5 18.AB原方程组为 两式相加得到选项 x2+ 两式相减得了(x-y)(x+y+5)=0,直线x+y+5=0 4(x-3)2+9,代入取值范围即可得到两个最值 与圆(x-2)2+(y-2)2=2相离,所以x-y=0 评析:本题需要注意讨论z的取值范围 解得(x,y)=(2,2),(3,3).所以选项B正确 25.C记A= B C、D错误 解A+B+C=30,令 19.CD配方,有f(x,y) 令x=2,得A+B+aC=0,联立解得A=3 于我们可以固定住x-