第1章 集合与简易逻辑-2022全国重点大学招生【强基计划】数学解难

参考答案 参考答案 [x1,x2包含于Z 包含于Q,不妨取x 第一章集合与简易逻辑 x2=2,[1,2]只有两个元素,而[y1,y2]中有无限多个有 理数 一、选择题 说明存在 ]中的数,没有原象,与双射矛盾,故 1.B用分类讨论的数学思想方法 若集合A中最大的数是1,集合B的选择方法: 4.A方法1:充分性:若命题p成立,不妨设数列的公比 为q,则根据柯西不等式 若集合A中最大的数是2,则集合A有2种,集合B的(a2+a2+…+a2-1)(a2+a2+…+an)≥ 选择方法:2 若集合A中最大的数是3,则集合A有4种,集合B的 当且仅当a;+1=ma(i=1…n-1)时取“=” 选择方法 若集合A中最大的数是4,则集合A有8种,集合B的 命题q成立,因此充分性成立; 选择方法:1种 方法2:必要性:当an=0时,命题q成立,而a1,a2,…,a 故共有:15+2×7+4×3+8×1=49,故选B. 不为等比数列,即命题p不成立,故必要性不成立 2.B∴3“>3>3,;a>b>1,∴log3a>log3b>0, 综上,p是q的充分条件,但不是q的必要条件 5.BCD由条件知P、Q是两个相交的圆 对A选项,由于两圆相交,故其圆心之间的距离应小于 故3>3>3是log3<log3的充分条件; 半径之和 而log3<lg3不能推出3>3>1,例如a=、1 对于B选项,由图像可知向量(x1-x2,y1-y2)与(a,b) 垂直 故3>3>3是log3<log3的充分不必要条件 对C选项,两圆圆心和公共弦顶点构成一个菱形,对角 故选B 线相互平分即可得到,化简即得 3.D方法1:对于A,由题意(i)可知,S为y=f(x)的定 对D选项,(x,y1),(x2,y2) 义域,取f(x)=x-1,x∈N,y∈N,满足题意; 满足 两式相减即可 对于B,取f(x)=15 (x+1),-1<x≤3, 故正确选项为BCD 评析:本题难度不大,结合代数式的化简以及图像的直 满足题意对于C 观不难解决 取f(x)=tan(x 6.D若观众甲或丙正确,则观众乙一定正确:所以观众甲 满足题意;故选D. 和丙一定都不正确.也即12456这5个选手都不是第 名,所以选手3是第一名,此时恰好只有丁一人正确 评析;这个题的关键在于能否观察出甲、乙丙三人的猜 测的特点.基本手段在于假设某个人正确,看此时是否 符合只有一个人正确的条件 7.C由于三角形内tanA+tanB+tanC= tan Atan Btan C, 知条件为充要条件 8.D不充分的例子:(a,b,c)=(1,1,2),(A,B,C) 不必要的例子:(a,b,c)=(1,1,-1),(A,B,C)= 1,-1,1),不等号相反 评析:要注意比例相等时,如果两边除的都是负数,不等 方法2:直接分析D选项对于D 式会变号 假设存在∫(x)满足要求 9.CD反证法.如果是小赵错了,就意味着后面三个人说 的话都是对的.而他们去的地方各不相同→小钱小孙小 因为x1<x2,有f(x1)<f(x2),即y<y2 李去的分别是B、C、D地→小赵去了A地与假设矛盾! 全国重点大学招生强基计划数学解难 同理,若小钱错了,则意味着小赵去了A地和小钱去了14.B由题意:(a+b)(a2+b2-ab)+3ab=1, A地.矛盾! (a+b)[(a+b)2-3ab]+3ab 如果是小孙错了,则当小孙去B地,小钱去C地时,满足 (a+b)3-3ab(a+b-1)-1=0, “只有一个人错”和“去的地方各不相同”的条件 (a+b-1)[(a+b)2+(a+b)+1-3ab]=0,所以a+b=1 故可能为小孙或小李错了 或(a+b)2+(a+b)+1-3ab=0,后者整理成 评析:简单的逻辑推理.自然的就会想到用反证法 a2-(b-1)a+(b2+b+1)=0.由4≥0可得 10.C可分别按甲错误、乙错误、丙错误三种情况进行讨 (b+1)2≤0,所以b=-1,从而a=-1,所以a+b=-2. 论,难度较低. 综上a+b=1或一2.选B. 11.BC对于A,若λ=0,则由均值不等式知M的最大值二、填空题 1.解析:集合A={x|x=2n-1,n∈N 为 对于B,若λ>0,则M可以取任意负数,从而不存在最 将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 an},则a21=23,a38=2,记Sn为数列{an}的前n项 对于C,M≤1分Ax1x2≥2x1x2分A≥2. 对于D,M可以取任何不超过-1的数,从而不存在最 (1+41)2(1-2) =441+62=503<12 12×43=516,所以n=26不适合题意 评析:本题需要理清思路,整理清相互之间的充要关系 12.A方法1:①当S中有3个元素时,设S={a,b,C S=22(1+4