第15章 组合数学-2022全国重点大学招生【强基计划】数学解难

全国重点大学招生强基计划数学解难 教列中取出可数项,它们不构成任何等比数列,即为 第十五章组合数学 A,余下教为B,满足要求 面,取A={25,24,23,21,18,13},是一个满足 、选择题 题意的构造,A=6 1.C用|A4表示集合A4的元素个数,设|A4|=n+1,由 另一方面,若A|=7,则A|的全体非空子集个数为 2007=1+nk,得n= 于是|A 1=119 而设A={a1,a2,…,an},其中a1>a2>…>a 1l1-59+1=35,A∩Aa|=|A1m1=206 考虑A中的小于等于4元的非空子集,其有 3,A1UA3|=|A1|+|A3|-|A1o3|=119+35-3 C+C}+C2+C=35+35+21+7=98个 =151,故选C 而A中小于等于4元的非空子集的元素和一定 a,,ata, ta,ta 2.B显然O∈A.选项A.设A=(0,a1,a2},则a2-a1=a1 于是0,a1,a2成等差数列,错误.B.取A={0,1,3,4}满 至多有a1+a2+a3+a1-a1+1≤a1+a2+a2+a1≤ 25+24+23+22=94种,与所有子集元素之和不同矛 足条件,正确.C.设A={0,a1,a2,a3,a4}且a1<a2<a a4于是由0<a1-a3<a1-a2<a1-a1知,a4-a3 aa4-a3=a4-a1=a,0,a2,a1成等差数列,错误,对于CD,容易验证1,2,4,8,16是使得∑1最大的取 D.A=10,a1,a2,a3,a4,a3}且a1<a2<a3<a4<a3,于 是和C相似的处理方法可以得到a1+a1=a2+a3=a3 值,且3<∑1<2故D正确 由于a1+a3>a3,所以a4-a3=a2-a1=a1,于是0,a 评析:标准的组合构造题目.对于此类题目,学会构造是 a2成等差数列,错误 评析:集合问题向来是组合数学中的重点.对所给集合 很关键的,一般而言,当你构造出6个的解答,发现7个 的条件反复运用,数学灵感较好的同学应该不难想到 给不出来后,完全可以直接猜出A而不去证明;上述答 案的证明已经基本达到竞赛中等水平了,而CD用二进 C、D中的处理方法 制的思想很容易想到,不再赘述 3.ACD)集合M中所有元素的和为SM="2,考虑到6.D对于任一个“有序子集列”(A,B,C),必然存在一个 3|SM,于是n=6k,6k+2(k∈N) 三元组(x,y,x),使得x∈A∩B.y∈B∩C,∈C∩A.若 A∪B∪C中还有除了(x,y,z)的其他元素,记为t,那么 当n=6k时,集合M中所有3的倍数之和大于3S,集 t,只在(A,B,C)之一出现(或者根本不出现) 合C中元素之和大于2SM,不符.当n=6k+2时 另一方面,对于任一个三元组(x,y,x),都能通过令 A∩B,y∈B∩C,∈C∩A的形式,构建出一个“有 SM=18k2+15k+3,其中3的倍数和为6k2+3k,而所有 序子集列”(A,B,C) 奇数的和为92+6k+1,所有偶数的和为92+9+2,那么 N中的三元组(x,y,x)有C=20个,而对于N(x,y,z) 只需要找若千和为k的奇数,若干和为k十1的偶数放入C 的其他元素,每一个都有4种可能:不属于A∪B∪C、属于 集合中,所以k为奇数,n-=12l-4形式的数是必要条件,通 A、属于B、属于C.且(A,B,C)又有6种交换的顺序 过验证A、C、D三个选项,进行构造 ∴总数为C6·4·6=7680种 A:5、7;4、8;1、2、3、6 评析:较难的组合计数问题.先证明计数方式是一一对 C:k=11,将奇数11,偶数4,8和3的倍数放入集合C中 应的,再通过分步计数原理去算出答案 D:k=13,将奇数13,偶数4,10和3的倍数放入集合}7.D说对的人是丙,若丙说错,则丙做对,即甲、乙均说 对,矛盾题目做对的,甲,乙都有可能,情况如下 评析:组合题目,根据条件自然想到去估算集合C来确 说的情况 做的情况 需要满足的条 4.CD注意1不在任一集合之中,故AB错误;CD选项难 甲乙丙 乙丙 度较大.C选项,我们构造A={n!+nn∈N”}, N"\A.A中没有等差数列是因为A中数的大小差 异非常大,a+a=2a1根本不可能成立,因为对于任意 a,a1>2a,也会成立.B中没有无穷等差数列,等价于:8.C考虑正十五边形中钝角的个数:可知其中一个角为 对于任意正整数a,b,存在无穷个n使得ax+b=n!+n有 钝角等价于该角对面的弦的另一侧有大于等于7个点 解(即任意ax+b的等比数列会有无穷项不在B中).事 假设正十五边形的顶点为A1,A2,…,A.先考虑以A 实上,对于所有满足n>a且n=b(moda)的n,该方程都 为顶点的钝角的个数,如果A1A2是角的一条边