2.2 圆的对称性-2021-2022学年九年级数学上册金典同步教学讲义（讲+练）（苏科版）

第二章 对称图形——圆 2.2 圆的对称性 知识梳理 考点1 圆的对称性 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴． 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 例题剖析 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的(　　)【例题1】 A．M B．P C．Q D．R 【答案】C 【分析】 根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案． 【详解】 解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图， 它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心． 故选C． 【点睛】 本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法． 下列几何图形中，一定是轴对称图形的有（　　）【例题2】 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【解析】 连接圆弧的两个端点成线段，该线段的垂直平分线就是圆弧的对称轴；角平分线所在直线是角的对称轴；扇形圆心角的平分线所在直线是扇形的对称轴；菱形的两条对角线所在直线是菱形的对称轴；等腰梯形上、下底的中点连线所在直线是等腰梯形的对称轴，那么一定是轴对称图形的有5个. 知识梳理 考点2弧、弦、圆心角的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是例题剖析 【例题1】 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ∵OC⊥弦AB于点C，AB=4，∴根据垂径定理：BC=AC=2． 又∵OC=1，∴根据勾股定理得：．故选B． 如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径（　　）【例题2】 A．5 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【详解】 解：连接OA， ∵OC⊥AB，AB=8， ∴ACAB=×8=4． 在Rt△OAC中，．故选A． 知识梳理 考点3垂径定理 1.垂径定理 　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论 　　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　　　　　 　(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 　　 　(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 例题剖析 ．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”【例题1】 如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（　　） A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸 【答案】C 【详解】 分析：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可. 详解：设⊙O的半径为r． 在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r， 则有r2=52+（r-1）2， 解得r=13， ∴⊙O的直径为26寸， 故选C． 点睛：本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题 “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“CD为的直径，弦，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”，依题意得CD的长为（ ）【例题2】 A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 【答案】D 【分析】 连接AO，设直径CD的长为寸，则半径OA=OC=寸，然后利用垂径定理得出AE，最后根据勾股定理进一步求解即可. 【详解】 如图，连接AO， 设直径CD的长为寸，则半径OA=OC=寸， ∵CD为的直径，弦，垂足为E，AB=10寸， ∴AE=BE=AB=5寸， 根据勾股定理可知， 在Rt△AOE中，， ∴， 解得：， ∴， 即CD长为26寸. 【点睛】 本题主要考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 好题速递 基础巩固 1．已知的直径与弦交于点，且，则的度数是（ ） A． B． C． D