专题13函数与数学模型-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

专题13函数与数学模型--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力 1.了解指数函数、对数函数及幂函数的增长特征，掌握求解函数应用题的步骤． 2.了解函数模型及拟合函数模型；在同一坐标系中能对不同函数的图象进行比较． 3.建立函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的)，要正确地确定实际背景下的定义域，将数学问题还原为实际问题． 二、教学建议 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律； 2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义； 3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义. 三、自主梳理 几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型 函数解析：式 一次函数型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 幂函数型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) (2)指数、对数、幂函数模型性质比较 　　 函数 性质　　 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax 四、高频考点+重点题型 考点一、函数的图像法与列表法 例1-1．（阅读函数图像） （2020北京15）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间 的关系为，用 的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱． 已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示． 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标； ④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【解析】∵用来评价治污能力，而是图像上两点连线的斜率，在上，甲的治污能力比乙强，故①对，时刻甲比乙强，时刻都低于达标排放量，∴都达标，甲企业在时刻治污能力不是最强． 例1-2．（判断图像） （2015全国卷2，理11）如图，长方形的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记 ，将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数 ，则的图像大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当x∈时，f(x)＝tan x＋，图象不会是直线段，从而排除A、C． 当x∈时，f＝f＝1＋，f＝2．∵2<1＋，∴f<f＝f，从而排除D，故选B． 例1-3．（阅读函数的列表） 某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时间段进行计价，该地区电网销售电价表如下： 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 (单位：千瓦时) 高峰电价 (单位：元/千瓦时) 低谷月用电量 (单位：千瓦时) 低谷电价 (单位：元/千瓦时) 50及以下的部分 0.568 50及以下的部分 0.288 超过50至200的部分 0.598 超过50至200的部分 0.318 超过200的部分 0.668 超过200的部分 0.388 若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元．(用数字作答) 【答案】148.4 【解析】据题意有0.568×50＋0.598×150＋0.288×50＋0.318×50＝148.4(元)． 对点训练1．（2015北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况． 下列叙述中