专题十 平面向量与三角形的四心-2022年高考数学之解密平面向量命题点对点突破（全国通用）

专题十　平面向量与三角形的四心 三角形四心的向量式 三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则 (1)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0． (2)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝⇔sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝0． (3)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0⇔ sin A·＋sin B·＋sin C·＝0． (4)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·⇔ tan A·＋tan B·＋tan C·＝0． 关于四心的概念及性质： (1)重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点． 性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数．即G为△ABC的重心，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G． ④重心到三角形3个顶点距离的平方和最小． (2)垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点． 性质：锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外． (3)内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)． 性质：①三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r． ②，特别地，在Rt△ABC中，∠C=90°，． (4)外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)． 性质：外心到三角形各顶点的距离相等． 考点一　三角形四心的判断 【例题选讲】 [例1] (1) 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　) A．△ABC的内心　　　B．△ABC的垂心　　　C．△ABC的重心　　　D．AB边的中点 答案　C　解析　取AB的中点D，则2＝＋，∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋，而＋＝1，∴P，C，D三点共线，∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心． (2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________． 答案　内心　解析　由条件，得－＝λ，即＝λ，而和分别表示平行于，的单位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心． (3)在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M的轨迹必经过△ABC的(　　) A．垂心　　　　　　　　B．内心　　　　　　　　C．外心　　　　　　　　D．重心 答案　C　解析　设BC边中点为D，∵2－2＝2 ·，∴(＋)·(－)＝2 ·，即·＝·，∴·＝0，则⊥，即MD⊥BC，∴MD为BC的垂直平分线，∴动点M的轨迹必经过△ABC的外心，故选C． (4)已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．重心　　　　　　　　B．垂心　　　　　　　　C．外心　　　　　　　　D．内心 答案　B　解析　因为＝＋λ(＋)，所以＝－＝λ(＋)，所以·＝·λ(＋)＝λ(－||＋||)＝0，所以⊥，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心． (5)已知的内角、、的对边分别为、、，为内一点，若分别满足下列四个条件： ①，②， ③，④ 则点分别为的　　 A．外心、内心、垂心、重心　　　　　　　　B．内心、外心、垂心、重心 C．垂心、内心、重心、外心　　　　　　　　D．内心、垂心、外心、重心 答案　D (6)下列叙述正确的是________． ①为的重心． ②为的垂心． ③为的外心． ④为的内心． 答案　①②　解析　①为的重心，①正确；②由，同理，，②正确；③．， 与角的平分线平行，必然落在角的角平分线上，③错误；④ 为的外心，④错误．正确的叙述是①②．故答案为：①②． 【对点训练】 1．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)， λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．内心　　　　　　B．外心　　　　　　C．重心　　　　　　D．垂心 2．是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，且，则点的轨迹一定通过的(　　) A．内心　　　　　　B．外心　　　　　　C．重心　　　　　　D．垂心 3．已知O是△ABC所在平面上的一定点，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)， 则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．内心　　　　　　B．外心　　　　　　C．重心　　　　　　D．垂心 4．为所在平面内一点，，，为的角，若，则点 为的(