专题九 平面向量的奔驰定理-2022年高考数学之解密平面向量命题点对点突破（全国通用）

专题九　平面向量的奔驰定理 1．奔驰定理 如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0． 证明：如图，延长AP与BC边相交于点则D，＝＝＝＝， ∵＝＋，∴＝＋， ∵＝＝＝，∴＝－， 即－＝＋，∴S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0． 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一． 推论：已知P为△ABC内一点，且x＋y＋z＝0．(x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋z≠0)．则有 (1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝|x|∶|y|∶|z|． (2)＝||，＝||，＝||． 【例题选讲】 [例1](1)设点O在△ABC的内部，且有＋2＋3＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为(　　) A．3　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D． 答案　A　解析　分别取AC、BC的中点D、 E，∵＋2＋3＝0，∴＋＝－2(＋)，即2＝－4，∴O是DE的一个三等分点，∴＝3． 秒杀　根据奔驰定理得，S△ABC∶S△AOC＝(1＋2＋3)∶2＝3． (2)在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则等于(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 答案　B　解析　如图，由点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有S△ABD＝S△ABC，S△ACD＝S△ABC，S△BCD＝S△ABC＝S△ABC，所以＝． 秒杀　由＝＋得，＋2＋3＝0，根据奔驰定理得，S△BCD∶S△ABD＝1∶3． (3)已知点A，B，C，P在同一平面内，＝，＝，＝，则S△ABC∶S△PBC等于(　　) A．14∶3　　　　　　B．19∶4　　　　　　C．24∶5　　　　　　D．29∶6 答案　B　解析　由＝，得－＝(－)，整理得＝＋＝＋，由＝，得＝(－)，整理得＝－，∴－＝＋，整理得4＋6＋9＝0，根据奔驰定理得，∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4． (4)已知点P，Q在△ABC内，＋2＋3＝2＋3＋5＝0，则等于(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 答案　A　解析　根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，∴S△PAB＝S△QAB＝S△ABC，∴PQ∥AB，又∵S△PBC＝S△ABC，S△QBC＝S△ABC，∴＝－＝． (5)点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为(　　) A．，　　　　　　　　B．，　　　　　　　　C．，　　　　　　　　D．， 答案　A　解析　秒杀　根据奔驰定理，得3＋2＋4＝0，即3＋2(＋)＋4(＋)＝0，整理得＝＋，故选A． (6)设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x＋y的最大值是________． 答案　　解析　根据奔驰定理得，＋x＋y＝0，即＝2x＋2y，平方得2＝4x22＋4y22＋8xy| |·||·cos∠BPC，又因为点P是△ABC的外心，所以||＝||＝||，且∠BPC＝2∠BAC＝60°，所以x2＋y2＋xy＝，(x＋y)2＝＋xy≤＋2，解得0<x＋y≤，当且仅当x＝y＝时取等号．所以(x＋y)max＝． 【对点训练】 1．设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________． 2．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比 值为________． 3．已知P，Q为△ABC中不同的两点，且3＋2＋＝0，＋＋＝0，则S△PAB∶S△QAB为_____． 4．已知D为△ABC的边AB的中点，M在DC上满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 5．若M是△ABC内一点，且满足＋＝4，则△ABM与△ACM的面积之比为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2 6．已知O是面积为4的△ABC内部一点，且有＋＋2＝0，则△AOC的面积为__________． 7．已知点D为△ABC所在平面上一点，且满足＝－，若△ACD的面积为1，则△ABD的面积为 ________． 8．已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足＋x＋y＝0，设△ABC， △PB