专题七 平面向量的等和线-2022年高考数学之解密平面向量命题点对点突破（全国通用）

专题七　平面向量的等和线 根据平面向量基本定理，如果，为同一平面内两个不共线的向量，那么这个平面内的任意向量都可以由，唯一线性表示：＝x＋y．特殊地，如果点C正好在直线AB上，那么x＋y＝1，反之如果x＋y＝1，那么点C一定在直线AB上．于是有三点共线结论：已知，为平面内两个不共线的向量，设＝x＋y，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1． 以上讨论了点C在直线AB上的特殊情况，得到了平面向量中的三点共线结论．下面讨论点C不在直线AB上的情况． 如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设＝x＋y(x，y∈R)． 1．平面向量等和线定义 (1)当直线DE经过点P时，容易得到x＋y＝0． (2)当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1．由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数k∈R，使得＝k(其中k＝＝＝)，则＝k＝kλ＋kμ．又＝x＋y (x，y∈R)，所以x＋y＝kλ＋kμ＝k．以上过程可逆． 在向量起点相同的前提下，所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”． 2．平面向量等和线定理 平面内一组基底，及任一向量满足：＝λ＋μ (λ，μ∈R)，若点F在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线． 3．平面向量等和线性质 (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1； (2)当等和线在点P和直线AB之间时，k∈(0，1)； (3)当直线AB在点P和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过点P时，k＝0； (5)若两等和线关于点P对称，则定值k互为相反数． 考点一　根据等和线求基底系数和的值 【方法总结】 根据等和线求基底系数和的步骤 (1)确定值为1的等和线； (2)平移(旋转或伸缩)该线，作出满足条件的等和线； (3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值． 已知点P是△ABC所在平面内一点，且＝x＋y，则有点P在直线BC上⇔x＋y＝1；点P与点A在直线BC异侧⇔x＋y>1，且x＋y的值随点P到直线BC的距离越远而越大；点P与点A在直线BC同侧⇔x＋y< 1，且x＋y的值随点P到直线BC的距离越远而越小． 平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和．考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操作，那么理论上来说，所有的系数之间的线性关系，我们都可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底的系数和． 【例题选讲】 [例1](1)如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列以O为起点的向量：①＋2；②＋；③＋；④＋；⑤＋＋．其中终点落在阴影区域(不包括边界)内的向量的序号是________(写出满足条件的所有向量的序号)． 答案　①③　解析　由向量共线的充要条件可得，当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得＝u＋v成立，且u＋v＝1，所以点P位于阴影区域内的充要条件是“满足＝u＋v，且u＞0，v＞0，u＋v＞1”．①因为1＋2＞1，所以点P位于阴影区域内，故正确；同理③正确，②④不正确；⑤原式＝＋(－)＋＝－，而－<0，故不符合条件．综上可知，只有①③正确． (2)设向量，不共线(O为坐标原点)，若＝λ＋μ，且0≤λ≤μ≤1，则点C所有可能的位置区域用阴影表示正确的是(　　) 答案　A　解析　当λ＝0时，＝μ，故点C所有可能的位置区域应该包括边界或的一部分，故排除B，C，D项．故选A项． (3)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．1 答案　A　解析　通法　设＝t，则＝＝(＋)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝－，μ＝，∴λ＋μ＝，故选A． 等和线法　如图，BC为值是1的等和线，过N作BC的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝．由图易知，＝，故选A． (4)在平行四边形ABCD中，点E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________． 答案　　解析　通法　选择，作为平面向量的一组基底，则＝＋，＝＋，＝＋，又＝λ＋μ＝＋，于是得即故λ＋μ＝． 等和线法　如图，EF为值是1的等和线，过C作EF的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝．由图易知，＝，故选B． (5)如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设＝a，＝b，向量＝λa