专题六 平面向量与三角函数-2022年高考数学之解密平面向量命题点对点突破（全国通用）

专题六　平面向量与三角函数 平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路 (1)向量平行、垂直与三角函数综合 此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解． (2)向量的模与三角函数综合 此类题型主要是利用向量模的性质|a|2＝a2，如果涉及向量的坐标，解答时可利用两种方法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解．此类题型主要表现为两种形式：①利用三角函数与向量的数量积直接联系；②利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合． 考点一　平面向量与三角函数选填题 【例题选讲】 [例1] (1)设向量a＝(2cos θ，sin θ)，向量b＝(1，－6)，且a·b＝0，则等于________． 答案　　解析　因为a·b＝0，则2cos θ－6sin θ＝0，即tan θ＝，则＝＝＝． (2)在△ABC中，BC＝2，A＝，则·的最小值为________． 答案　－　解析　由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos≥2AB·AC＋AB·AC＝3AB·AC，所以AB·AC≤．所以·＝AB·AC·cos＝－AB·AC≥－，故(·)min＝－，当且仅当AB＝AC时等号成立． (3)已知向量a＝(cos，sin)，b＝(cos，－sin)，且x∈[－，]，则|a＋b|＝________．　 答案　2cosx　解析　∵a＋b＝(cos＋cos，sin－sin)，∴|a＋b|＝＝＝2|cos x|．∵ x∈[－，]，∴ cos x>0，∴ |a＋b|＝2cos x． (4)已知向量＝(2，0)，向量＝(2，2)，向量＝(cosα，sinα)，则向量与向量的夹角的取值范围是(　　) A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 答案　D　解析　由题意，得：＝＋＝(2＋cosα，2＋sinα)，所以点A的轨迹是圆(x－2)2＋(y－2)2＝2，如图，当A位于使向量与圆相切时，向量与向量的夹角分别达到最大、最小值，故选D． (5)在平面直角坐标系xOy中，点P(，1)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量，则点Q的坐标是(　　) A．(－，1)　　　　　　B．(－1，)　　　　　　C．(－，1)　　　　　　D．(－1，) 答案　D　解析　由P(，1)，得P，∵将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量，∴Q，又cos＝－sin ＝－，sin＝cos ＝，∴Q(－1，)． (6)已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A，B的大小分别为(　　) A．，　　　　　　　　B．，　　　　　　　　C．，　　　　　　　　D．， 答案　C　解析　由m⊥n得m·n＝0，即cosA－sinA＝0，即2cos＝0，∵<A＋<，∴A＋＝，即A＝．又acosB＋bcosA＝2RsinAcosB＋2RsinBcosA＝2Rsin(A＋B)＝2RsinC＝c＝csinC，∴sin C＝1，C＝，∴B＝π－－＝． (7)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且·＝0(O为坐标原点)，则A等于(　　) A．　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．π　　　　　　　　D．π 答案　B　解析　由题意知M(，A)，N(π，－A)，又·＝×π－A2＝0，∴A＝π． (8)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积ab＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动，Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足＝m＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________． 答案　　解析　设Q(c，d)，由新的运算可得＝m＋n＝(2x，sinx)＋(，0)＝(2x＋，sinx)，由消去x得d＝sin(c－)，所以y＝f(x)＝sin(x－)，易知y＝f(x)的值域是． 【对点训练】 1．已知向量e1＝，e2＝，则e1·e2＝________． 2．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝________． 3．已知向量m＝(1，cos θ)，n＝(sin θ，－2)，且m⊥n，则sin 2θ＋6cos2θ的值为(　　) A．　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．－2 4．设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan(α－)＝________． 5．在△ABC中，已知AB＝，C＝，