专题五 平面向量的模-2022年高考数学之解密平面向量命题点对点突破（全国通用）

专题五　平面向量的模 平面向量的模长公式 (1)平面向量模长公式的非坐标形式：|a|＝． (2)平面向量模长公式的坐标形式：若a＝(x，y)，则|a|＝． 考点一　平面向量模的定值问题 【方法总结】 求向量模的常用方法 (1)若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|＝．将模长问题转化为数量积问题，通过(a±b)2＝a2±2a·b＋b2从而能够与条件中的已知向量(已知模长，夹角的基向量)找到联系． (2)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝．某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出(或表示)出模长． (3)数形结合法，利用模的几何意义． 【例题选讲】 [例1] (1)(2017·全国Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________． 答案　2　解析　解法1　|a＋2b|＝＝＝＝＝2． 解法2　(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||．又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2． (2) (2012·全国)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________． 答案　3　解析　依题意，可知|2a－b|2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4－4|a||b|·cos 45°＋|b|2＝4－2|b|＋|b|2＝10，即|b|2－2|b|－6＝0，∴|b|＝＝3(负值舍去)． (3)若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝(　　) A．2　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D． 答案　B　解析　由题意知即将①×2－②得，2a2－b2＝0，∴b2＝|b|2＝2a2＝2|a|2＝2，故|b|＝． (4)已知向量a＝(x，)，b＝(x，－)，若(2a＋b)⊥b，则|a|＝(　　) A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2 答案　D　解析　因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0，即(3x，)·(x，－)＝3x2－3＝0，解得x＝±1，所以a＝(±1，)，|a|＝＝2． (5)若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________． 答案　2　解析　∵||＝||＝|－|＝2，∴△ABC是边长为2的正三角形，∴|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，∴|＋|＝2×2sin＝2． (6) (2013·天津)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________． 答案　　解析　在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则＝，∴＝＝－，又＝＋，∴·＝(＋)·(－)＝2－·＋·－2＝||2＋||||cos60°－||2＝1＋×||－||2＝1．∴||＝0，又||≠0，∴||＝． 【对点训练】 1．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60˚，则|a＋3b|等于(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．4 1．答案　C　解析　依题意得a·b＝，|a＋3b|＝＝，故选C． 2．(2012·全国)平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1，1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于(　　) A．13＋6　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 2．答案　D　解析　依题意得|a|＝，a·b＝×2×cos 45°＝2，∴|3a＋b|＝＝ ＝＝，故选D． 3．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，那么|4a－b|＝(　　) A．2　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．12 3．答案　C　解析　|4a－b|2＝16a2＋b2－8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cos＝12，∴|4a－b|＝2． 4．已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝(　　) A．　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2 4．答案　A　解析　由题意得a·b＝|a|×1×＝，又|2a－b|＝1，∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a| ＋1＝1，即4|a|2－2|a|＝0，又|a|≠0，解得|a|＝． 5．已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝．若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________． 5．答案　　解析　∵e1·e2＝，∴|e1||e2|cos＜e1，e2＞＝，∴＜e1，e2＞＝60°．又∵b·e1＝b·e2＝1＞0， ∴＜b，e1＞＝＜b，e2＞＝30°．由b·e1＝1，得|b||e1|cos 30°＝1，∴|b|＝＝． 6．已知a，b为单位向量