专题四 平面向量的夹角-2022年高考数学之解密平面向量命题点对点突破（全国通用）

专题四　平面向量的夹角 平面向量的夹角公式 (1)平面向量夹角公式的非坐标形式：cos<a，b>＝．<a，b>∈[0，π]． (2)平面向量夹角公式的坐标形式：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos<a，b>＝．<a，b>∈[0，π]． 考点一　平面向量的夹角问题 【方法总结】 求解两个非零向量之间的夹角的步骤 第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积； 第二步：分别求出这两个向量的模； 第三步：根据公式cos＜a，b＞＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值； 第四步：根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角． 【例题选讲】 [例1] (1)(2016·北京)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为__________． 答案　　解析　因为cos<a，b>＝＝＝，所以a与b夹角的大小为． (2)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 答案　B　解析　a·(b－a)＝a·b－a2＝2，所以a·b＝3，所以cos<a，b>＝＝＝，所以向量a与b的夹角为． (3)已知|a|＝|b|，且|a＋b|＝|a－b|，则向量a与b的夹角为(　　) A．30°　　　　　　　　B．45°　　　　　　　　C．60°　　　　　　　　D．120° 答案　C　解析　设a与b的夹角为θ，由已知可得a2＋2a·b＋b2＝3(a2－2a·b＋b2)，即4a·b＝a2＋b2．因为|a|＝|b|，所以a·b＝a2，所以cos θ＝＝，θ＝60°． (4)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 答案　B　解析　答案　B　解析　方法一　设a与b的夹角为θ，因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0，又因为|a|＝2|b|，所以2|b|2cos θ－|b|2＝0，即cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故选B． 方法二　如图，令＝a，＝b，则＝－＝a－b． 因为(a－b)⊥b，所以∠OBA＝，又|a|＝2|b|，所以∠AOB＝，即a与b的夹角为，故选B． (5)已知非零向量a，b满足：2a·(2a－b)＝b·(b－2a)，|a－b|＝3|a|，则a与b的夹角为________． 答案　90°　解析　由2a·(2a－b)＝b·(b－2a)，得4a2＝b2，由|a－b|＝3|a|，得a2－2a·b＋2b2＝9a2，则a·b＝0，即a⊥b，∴a与b的夹角为90°． (6)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 答案　D　解析　设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝2．由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，故以a、b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|＝，设向量a＋b与a的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝，又0≤θ≤π，所以θ＝． (7)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝，且|2a＋b|＝，则向量a与a＋b的夹角为(　　) A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．π 答案　B　解析　∵|2a＋b|2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2＝7，|a|＝1，|b|＝，∴4＋4a·b＋3＝7，∴a·b＝0，∴a⊥b．如图所示，a与a＋b的夹角为∠COA．∵tan∠COA＝＝＝，∴∠COA＝，即a与a＋b的夹角为． (8)(2020·全国Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos<a，a＋b>等于(　　) A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 答案　D　解析　∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，∴cos<a，a＋b>＝＝＝＝． (9)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________． 答案　　解析　∵a2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－2×3×2×＝9，b2＝(3e1－e2)2＝9＋1－2×3×1×＝8，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8，∴cos β＝＝＝． (10)若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角的余弦值等于(　　) A．　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－ 答案　B　解析　记向量2a－b与a＋2b的夹角为θ，又(2