1.3.2 第1课时 奇偶性的概念-2021-2022学年高中数学必修1【名师导航】同步课件PPT(人教版)

第一章　集合与函数概念 1.3　函数的基本性质 1.3.2　奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 * * * 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解奇函数、偶函数的定义． 2．了解奇函数、偶函数图象的特征． 3．掌握判断函数奇偶性的方法. 1.借助奇(偶)函数的特征，提升直观想象素养． 2．借助函数奇、偶的判断方法，提升逻辑推理素养. * 自 主 预 习 探 新 知 * * 原点 y轴 * 函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 对于函数f(x)定义域内的任意一个x 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于 对称 关于 对称 * * 思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？ 提示：定义域关于原点对称． * * 1．下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝x B．y＝2x2－3 C．y＝eq \f(1,\r(x)) D．y＝x2，x∈[0,1] B　[选项C、D中函数的定义域不关于原点对称，选项A中的函数是奇函数，故选B.] * * 2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　) A　　　　　　B C　　　　　　　　　D B　[B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．] * * 3．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　) A．－1 B．0　　　 C．1 D．无法确定 C　[∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.] * * 4．若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝________. 3　[∵f(x)为R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝3.] * 合 作 探 究 释 疑 难 * * 函数奇偶性的判断 * 【例1】　(教材改编题)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)； (2)f(x)＝eq \f(2x2＋2x,x＋1)； (4)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1，x<0，,0，x＝0，,x＋1，x>0.)) * * [解]　(1)函数的定义域为R，关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)， 因此函数f(x)是奇函数． (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,x2－1≥0))得x2＝1，即x＝±1. 因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称． 又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． * * (3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称． f(－x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x－1，－x<0，,0，－x＝0，,－x＋1，－x>0，))即f(－x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x＋1，x>0，,0，x＝0，,－x－1，x<0.)) 于是有f(－x)＝－f(x)．所以f(x)为奇函数． * * 判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法： * * (2)图象法： * * eq \o([跟进训练]) 1.下列函数中，是偶函数的有________．(填序号) ①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝eq \f(1,x2)； ④f(x)＝x＋eq \f(1,x)；⑤f(x)＝x2，x∈[－1,2]． * * ②③　[对于①，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数； 对于②，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，则为偶函数； 对于③，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝eq \f(1,－x2)＝eq \f(1,x2)＝f(x)，则为偶函数； * * 对于④，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－eq \f(1,x)＝－f(x)，则为奇函数； 对于⑤，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．] * * 2．判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)； (2)f(x)＝|x－2|＋|x＋2|； (3)f(x)＝eq \f(\r(1－x2),x)； (4)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋2x－3，x＞0.,x2＋2x＋3，x＜0.)) * * 解：(1)定义域[－4,4)不关于原点对称，因此函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2)函数f(x)定义域为R，且f(－x)＝|－x－2|＋|－x＋2|＝|x＋2