课时分层作业12 奇偶性的应用-2021-2022学年高中数学必修1【名师导航】同步Word练习(人教版)

课时分层作业(十二)　奇偶性的应用 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝－x2＋2x－3　 B．f(x)＝－x2－2x－3 C．f(x)＝x2－2x＋3 D．f(x)＝－x2－2x＋3 B　[若x<0，则－x>0，因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(－x)＝x2＋2x＋3，因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝x2＋2x＋3＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3，所以x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.故选B.] 2．已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　) A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1) B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0) C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1) D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5) C　[∵函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选C.] 3．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为(　　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞) A　[因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数在(－∞，0]上单调递增．] 4．一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图，下列说法正确的是(　　) A．这个函数仅有一个单调增区间 B．这个函数有两个单调减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值是7 D．这个函数在其定义域内有最小值是－7 C　[根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出函数在[－7,7]上的图象，如图所示，可知这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.故选C. ] 5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　) A.　D.　C.　B. A　[由题意得|2x－1|<，故选A.]<x<⇒<2x<⇒<2x－1<⇒－ 二、填空题 6．函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. ＋1，＋1　[∵f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝ ∴当x＜0时，－x＞0， f(x)＝f(－x)＝＋1， 即x＜0时，f(x)＝＋1.] 7．偶函数f(x)在(0，＋∞)内的最小值为2 019，则f(x)在(－∞，0)上的最小值为________． 2 019　[由于偶函数的图象关于y轴对称， 所以f(x)在对称区间内的最值相等． 又当x∈(0，＋∞)时，f(x)min＝2 019， 故当x∈(－∞，0)时，f(x)min＝2 019.] 8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________． f(－2)<f(1)<f(0)　[当m＝1时， f(x)＝6x＋2不合题意； 当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称，∴m＝0， ∴f(x)＝－x2＋2， ∴f(x)在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减． 又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)＝f(－2)．] 三、解答题 9．已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0. [解]　∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得 f(1－x)<－f(1－2x)， ∴f(1－x)<f(2x－1)． 又∵f(x)在(－1,1)上是减函数， ∴，解得0<x< ∴原不等式的解集为. 10．已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论． [解]　F(x)在(－∞，0)上是减函数． 证明如下： 任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则有－x1>－x2>0. 因为y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0， 所以f(－x2)<f(－x1)<0， ① 又因为f(x)是奇函数， 所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)， ② 由①②得f(x2)>f(x1)>0.于是 F(x1)－F(x2)＝>0， 即F(x1)>F(x2)， 所以F(x)＝在(－∞，0)上是减函数． 1．下列函数中，是偶函数，且在区间(0,