3.2.1 指数概念的扩充 2.2 指数运算的性质-2021-2022学年高中数学必修1【名师导航】同步Word教参(北师大版)

§2　指数扩充及其运算性质 2.1　指数概念的扩充 2.2　指数运算的性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化．(重点) 2．了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用实数指数幂逼近的思想方法．(易混点) 3．掌握指数的运算性质，能熟练地进行指数的运算．(重难点) 1．通过理解分数指数幂与根式的互化，培养数学抽象素养． 2．通过运用指数的运算性质进行指数运算，提升数学运算素养. 1．分数指数幂 阅读教材P64～P66的有关内容，完成下列问题． (1)定义 给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，把b叫作a的)，它就是分数指数幂． 次幂，记作b＝a (2)几个结论 ①正分数指数幂的根式形式：a(a>0)． )＝ ②负分数指数幂的意义：a))(a>0，m，n∈N＋，且n>1)． )＝ ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 思考1：(1)分数指数幂a个a相乘吗？)可以理解为 (2)在分数指数幂的概念中，我们只对正数和零的分数指数幂进行了定义，那么负数也有分数指数幂吗？ [提示]　(1)当不是正整数时，不可以．是正整数时，可以；当 (2)有的负数有分数指数幂，例如(－2)). )；有的负数没有分数指数幂，例如(－2) 2．指数运算的性质 阅读教材P66～P67的有关内容，完成下列问题． 若a>0，b>0，对任意实数m，n指数运算有以下性质： (1)am·an＝am＋n； (2)(am)n＝am_n； (3)(ab)n＝anbn. 思考2：)＝(－2)3＝－8，上述计算正确吗？若不正确，应如何计算．)＝(－2) [提示]　不正确.)＝23＝8. )＝2)＝(26) 1．下列等式一定成立的是(　　) A.＝＝4　 B. C．a0＝1 D.＝ D　[当a<0时，－1>0，，故B错；当a＝0时，a0不存在，故C错；因为＝＝|a|，故A错； 所以] )＝－1))＝(－1)＝( 2.化为分数指数幂为________． a)] )＝a)×)＝a))))＝)))＝)　[ 3．(0.027))＝________. )＝ )＝)))＝　[(0.027) .] ＝ 4．化简的结果为________． 16　[＝24＝16.]＝＝ 根式与分数指数幂的互化 根式与分数指数幂互化的关键与技巧 (1(关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用a(a>0，m，n∈N＋，且n>1(.)＝，a)＝ (2(技巧：当表达式中的根号较多时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简. 1．将下列根式化成分数指数幂的形式． (1). )2·；(4)(·；(3)；(2)· 分数指数幂的运算 【例2】　计算下列各式． 进行分数指数幂的运算要熟练掌握分数指数幂的运算性质，并灵活运用.一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注意运算顺序问题. 2．(1)))＝(　　) A．1　　　　 B．m) C．m) D．m (2)化简(a)))(a>0，b>0)的结果是(　　) )b))÷)b))(－3a)b A．6a B．－a C．－9a D．9a 条件求值 [探究问题] 1．已知a)＝3，求 a＋a－1的值．)＋a 提示：法一：由a＝9. ))))＋)·a＋2a))))＝3，得)＋a ∴a＋2＋a－1＝9， ∴a＋a－1＝7. 法二：a＋a－1＝)＝32－2＝9－2＝7. )·a－2a))))＋a 2．在探究1的条件下，求a)的值．)－a 提示：∵))2＝(a＋a－1)－2＝7－2＝5. )＋(a)·a－2a)))＝))))－a ∴a. )＝±)－a 3．在探究1的条件下，求a－a－1的值． 提示：a－a－1＝(a. )＝±3))＝3×(±)－a))( a)＋a 【例3】　已知x的值． )＝3，求)＋x [解]　因为x)＝3，)＋x 所以(x))2＝9，)＋x 所以(x))2＝9，)＋(x)·x))2＋2x 所以x＋2＋x－1＝9， 所以x＋x－1＝7， 所以. ＝＝ 1．(变条件)若将本例条件“x)＝1”，如何求值？ )－x)＝3”改为“x)＋x [解]　将x)＝1两边平方，得x＋x－1－2＝1，所以x＋x－1＝3，)－x 则.＝＝ 2．(变结论)在本例条件下，如何求x2＋x－2的值？ [解]　将x)＝3两边平方可得x＋x－1＋2＝9，则x＋x－1＝7，)＋x 两边再平方，得x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47. 解决此类问题的思路步骤如下： 1．掌握两个公式：(1)(＝|a|＝＝a，n为偶数且n∈N＋，)n＝a