2.5 简单的幂函数-2021-2022学年高中数学必修1【名师导航】同步Word教参(北师大版)

§5　简单的幂函数 学 习 目 标 核 心 素 养 1．了解幂函数的概念．(重点) 2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x)的图像，了解它们的变化情况．(难点、易混点) 3．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．(重点) 1．通过幂函数的概念及幂函数的奇偶性的学习，提升数学抽象素养． 2．结合幂函数的图像研究幂函数性质的过程，培养直观想像、逻辑推理素养. 1．幂函数 阅读教材P49～“例1”结束之间的内容，完成下列问题． (1)幂函数的定义 如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数． (2)简单的幂函数的图像和性质 函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x)，y＝x－1在同一平面直角坐标系中的图像如图所示： 从图中可以观察得到： y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x) y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 单调性 增函数 在(－∞，0] 上是减函数；在(0，＋∞) 上是增函数 增函数 增函数 在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数 定点 函数图像均过点(1,1) 思考1：当x>0时，幂函数y＝xα的单调性与指数又有何关系？ [提示]　当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增； 当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减． 2．函数的奇偶性 阅读教材P49从“可以看出”～P50“练习”以上的有关内容，完成下列问题． (3)奇偶性 当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有奇偶性． 思考2：(1)若对定义域的任意x都有f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是否是奇函数？ (2)你认为应怎样判断函数的奇偶性？ [提示]　(1)是奇函数．由f(－x)＋f(x)＝0，得f(－x)＝－f(x)．所以，对定义域内的任意x，点(x，f(x))与点(－x，－f(－x))关于原点对称，所以，函数f(x)的图像关于原点对称，所以，f(x)是奇函数． (2)第一步：求函数的定义域，并判断是否关于原点对称； 第二步：若关于原点对称，则求f(－x)，并判断是否恒等于f(x)或－f(x)； 第三步：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数；否则，既不是奇函数，也不是偶函数． 1．下列函数中，是偶函数的是(　　) A．y＝x2(x>0)　　　　 B．y＝|x－1| C．y＝ D．y＝x3 C　[令f(x)＝，则其定义域是R， 又f(－x)＝＝f(x)，＝ 则f(x)是偶函数．] 2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝________. 0　[由f(x)是奇函数，得f(－0)＝－f(0)， ∴2f(0)＝0， ∴f(0)＝0.] 3．已知y＝(m－1)xm是幂函数，则m＝________. 2　[依题意，m－1＝1，解得m＝2.] 4．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R，且为奇函数的所有α的值为________． 1或3　[当α＝－1，时，y＝xα定义域分别为(－∞，0)∪(0，＋∞)，[0，＋∞)不合题意； 当α＝1,3时，y＝xα定义域均为R，且都是奇函数，符合题意，所以α＝1或3.] 幂函数的概念 【例1】　已知函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，且是偶函数，求f(x)的解析式． [解]　依题意，有 m2－m－1＝1， 解得m＝2或－1. 当m＝2时，f(x)＝x－1，不是偶函数； 当m＝－1时，f(x)＝x2，是偶函数． 综上，得m＝－1. 1．形如y＝xα的函数叫幂函数，它有两个特点：(1)系数为1；(2)指数为常数，底数为自变量x. 2．求幂函数的解析式常利用幂函数的图像特征或性质确定指数的特征值． 1．(1)下列函数中是幂函数的为________． ①y＝x)；④y＝x2＋x；⑤y＝－x3. )；②y＝2x2；③y＝x (2)若幂函数f(x)的图像经过点(2,2)，则f(9)＝________. (1)①③　(2)27　[(1)根据幂函数的三个特点只有①③符合，②④⑤不符合． (2)设f(x)＝xα，则2α＝2， 所以α＝， 所以f(x)＝x)＝33＝27.).所以f(9)＝9 幂函数的图像和性质 【例2】　(1)如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图像，已知α取－2，－，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为(　　) ， A．－2，－，－2 ，－，2　 B．2，， C．－，－2，－ D．2，，－2,2， (2)已知点(在幂函数g(x)的图像上，当x为何值时：①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；