4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在-2021-2022学年高中数学必修1【名师导航】同步Word教参(北师大版)

§1　函数与方程 1.1　利用函数性质判定方程解的存在 学 习 目 标 核 心 素 养 1．了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系．(易混点) 2.掌握函数零点存在的判定方法．(重点) 3.能结合图像求解零点问题．(难点) 1.学习函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，提升直观想象素养. 2.通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养. 函数零点及判定定理 阅读教材P115～P116整节的内容，完成下列问题． (1)函数的零点： ①定义：函数f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点． ②方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系． (2)函数零点的判定定理： 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解． 思考：(1)函数的零点是点吗？ (2)若f(a)·f(b)>0，则y＝f(x)在区间(a，b)内一定没有零点吗？ [提示]　(1)不是点，是数． (2)不一定，如y＝x2－1，在区间(－2,2)上有两个零点． 1．下列各图像表示的函数中没有零点的是(　　) D　[选项A，B和C中，函数的图像与x轴有交点，而选项D中，函数图像与x轴没有交点，故该函数没有零点．] 2．函数f(x)＝x3＋2x－1的零点所在的大致区间是(　　) A．(0,1)　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) A　[∵f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，且f(x)在区间[0,1]上连续， ∴f(x)在(0,1)上至少有一个零点． 又f(x)在R上是增函数， 则f(x)有唯一零点． 故选A.] 3．若4是函数f(x)＝ax2－2log2x的零点，则a的值是________． .]　[依题意，f(4)＝0，即16a－2log24＝0，解得a＝ 4．函数y＝x－的零点是________． ±1　[由y＝0，得x－＝0，解得x＝±1.] 求函数的零点 【例1】　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x2＋2x＋4； (3)f(x)＝2x－3； (4)f(x)＝1－log3x. [解]　(1)令＝0，解得x＝－3， 所以函数f(x)＝的零点是－3. (2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0， 所以方程x2＋2x＋4＝0无解， 所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点． (3)令2x－3＝0，解得x＝log23， 所以函数f(x)＝2x－3的零点是log23. (4)令1－log3x＝0，解得x＝3， 所以函数f(x)＝1－log3x的零点是3. 函数零点的求法,求函数y＝f(x(的零点通常有两种方法：其一是令f(x(＝0，根据解方程f(x(＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝f(x(的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 1．若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点． [解]　由题意知f(－3)＝0， 即(－3)2－3－a＝0， a＝6.所以f(x)＝x2＋x－6. 解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2. 所以函数f(x)其余的零点是2. 判断零点所在的区间 【例2】　(1)已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 f(x) 15 10 －7 6 －4 －5 则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　) A．2个　　 B．3个 C．4个 D．5个 (2)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是(　　) A．(1,2) B．(2,3) C.和(3,4) D．(e，＋∞) (1)B　(2)B　[(1)由已知数表可知f(2)·f(3)＝10×(－7)＜0， f(3)·f(4)＝(－7)×6＜0，f(4)×f(5)＝6×(－4)<0， 故函数f(x)在(2,3)，(3,4)，(4,5)上分别存在零点，故至少有3个零点． (2)∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0， ∴在(1,2)内f(x)无零点，A错； 又f(3)＝ln 3－＞0，∴f(2)·f(3)＜0， ∴f(x)在(2,3)内有零点．] 1．(变条件)已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在区间是(　　) A．(3,4)　 B．(2,3) C．(1,2) D．(0,1) C　[因为f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0， 所以f(1)·f(2)<0， 所以f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点，