第四章-§1-§1.1 利用函数性质判定方程解的存在-2020-2021学年高中数学必修1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§1　函数与方程 1.1　利用函数性质判定方程解的存在 [目标导学] 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.(易混点) 2.会求函数的零点.(重点) 3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数.(难点) [教材梳理] 1.函数的零点 (1)概念：把函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点. (2)函数的零点与函数的图像、对应方程的根的关系： 2.函数零点的判断 (1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0. (2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根. [要点探究] ►知识点一　函数的零点 根据函数零点的定义，探究以下问题： [探究1]　结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，思考是否所有的函数都有零点？并说明理由. 提示　不一定.因为函数的零点就是方程的根，但不是所有的方程都有根，所以说不是所有的函数都有零点.如指数函数，其图像都在x轴的上方，与x轴没有交点，故指数函数没有零点；对数函数有唯一一个零点. [探究2]　由探究1可知，并非所有的函数都有零点，那么请大家想一想如果函数有零点，如何求函数的零点呢？ 提示　函数的零点就是对应方程的根，故求函数的零点就可以转化为求对应方程f(x)＝0的根. [探究3]　请填写下表中基本初等函数的零点 函数 零点(或零点个数) 一次函数y＝kx＋b(k≠0) ____________ 反比例函数y＝(k≠0) ____________ 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) Δ>0 ____________ Δ＝0 ____________ Δ<0 ____________ 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1) ____________ 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1) ____________ 提示　一个零点－　无零点　两个零点　一个零点－　无零点　无零点　一个零点1 ►知识点二　函数零点存在性定理 [探究1]　观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图像，发现这个二次函数在区间[－2，1]上有零点x＝－1，而f(－2)>0，f(1)<0，即f(－2)·f(1)<0.二次函数在区间[2，4]上有零点x＝3，而f(2)<0，f(4)>0，即f(2)·f(4)<0. 由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？ 提示　函数零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根. [探究2]　在闭区间[a，b]上，若函数y＝f(x)不同时满足零点存在的两个条件，是否可以断定该函数在区间(a，b)上没有零点？ 提示　不满足零点存在的两个条件也不能说就没有零点.如图所示， f(a)·f(b)>0，y＝f(x)在区间(a，b)上仍然有零点. [探究3]　反过来，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，f(a)·f(b)<0是否一定成立？ 提示　不一定成立，由下图可知.说明零点存在性定理不可逆. [探究4]　如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，满足了上述两个条件后，函数的零点是唯一的吗？还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点？ 提示　函数零点不一定唯一，由下图可知，还需添加函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调. 题型一　求函数的零点 　(1)函数y＝4x－2的零点是 A.2　　　　　　　　　　 B.(－2，0) C. D. (2)若函数y＝－x＋2m的零点是2，则m＝________. (3)若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求a和b的值. 【自主解答】　(1)令4x－2＝0，解得x＝，函数的零点是实数，故函数y＝4x－2的零点是.故选D. 【答案】　D (2)由于函数y＝－x＋2m的零点是2，故－2＋2m＝0，解得m＝1. 【答案】　1 (3)由函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2，3. 所以2和3是方程x2－ax－b＝0的两个根， 由根与系数的关系可得，2＋3＝－(－a)，2×3＝－b， 所以a＝5，b＝－6. ●方法技巧 函数零点的求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点. (2)几何法：与函数y＝f(x)的图像联系起来，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零