考点13 三角函数的图象与性质-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）

考点13 三角函数的图象与性质 【命题趋势】 本节是高考考查的重点，主要考查：（1）三角函数的图像变换；（2）三角函数的性质及应用；（3）三角函数图像与性质的综合应用，有时也与三角恒等变形综合考查，多以选择题和填空题的形式呈现，难度中等偏下． 【重要考向】 本节通过三角函数的图像及性质考查考生的直观想象和数学运算核心素养，及化归思想和整体代换思想的应用． 三角函数的图像变换 方法指导： （1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|. （2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移. 【典例】 1．将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的曲线，把向左平移个单位长度，得到曲线，则下列结论正确的是（ ） A．的最小正周期为 B．是的一条对称轴 C．在上的最大值为 D．在上单调递增 【答案】B 【分析】 由题意得，利用正弦函数的周期性，对称性，单调性，最值即可判断四个选项的正误. 【详解】 解：由题意得， 所以函数的最小正周期，故A错误； 当时，，所以是的一条对称轴，故B正确； 当时，则，所以在上的最大值为2，故C错误； 当时，则，所以函数在不具有单调性，故D错误. 故选：B. 五点法求三角函数的解析式 解题技巧： 确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=； “第五点”为ωx＋φ=2π. 【典例】 2.已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的个数为（ ） ①； ②在区间上单调递增； ③的一条对称轴为； ④要想将变成一个偶函数，可以将的图象向左平移个单位. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 先根据图象特征求和，判断①正确，得到解析式，再利用代入验证法判断②正确③错误，利用图象平移判断④正确，即得正确说法的个数. 【详解】 由图象知，，所以，函数， 由图象过知，，而，故，故①正确，. 时，，所以函数单调递增，②正确； 时，，所以不是对称轴，③错误； 向左平移个单位得是偶函数，所以④正确. 综上，说法正确的个数为3个. 故选：C. 三角函数的最值（值域） 方法指导： （1）形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函数化为y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)； （2）形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； （3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 3.求函数y＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈的最大值和最小值. 【答案】. 【分析】利用，将函数化为，根据x的范围，可得的范围，根据二次函数的性质，即可求得答案. 【详解】 ∵x∈，∴. 当时，；当时， ∴函数的最大值为5，最小值为. 4.已知函数，则的最大值为_____________. 【答案】 【分析】用换元法，设，化为二次函数求解． 【详解】 设，则， ， ∴， ∵，∴时，． 故答案为：． 【点睛】 本题考查求三角函数的最大值，解题是用换元法，设，转化为二次函数在某个区间上的最值，解题时要注意新元的取值范围，否则易出错． 三角函数的性质（单调性、奇偶性、对称性及周期性） 1、已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y=Asin（ωx＋φ）或y=Acos（ωx＋φ）（其中，ω>0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 2、求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y=Asin(ωx＋φ)，y=Acos(ωx＋φ)，y=Atan(ωx＋φ)的形式，再分别应用公式T=，T=，T=求解． 3、对于函数y=Asin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x=x0或点（x0，0）是否为函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f（x0）的值进行判断． 4、若f（x）=Asin（ωx＋φ）为偶函数，则φ=kπ＋（kZ），同时当x=0时，f