考点12 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）

考点12 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式 【命题趋势】 从近五年的考查情况来看，本节的重点是三角函数的定义，同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用，单独命题的概率较低．本讲知识多作为工具考查三角恒等变形或研究三角函数的图像与性质，以选择题和填空题为主． 【重要考向】 本节通过三角函数的概念、同角三角函数基本关系及诱导公式，考查考生的学生的数学抽象、数学运算核心素养及分类讨论思想的应用． 三角函数的定义 1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)． 2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集． 3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标． 4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(，，)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况. 【典例】 1．已知角终边经过点，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用任意角的三角函数定义列方程求解，进而可得的值. 【详解】 因为角终边经过点，且， 所以，所以，所以点的坐标为， 所以. 故选: A 利用三角函数符号判断角所在象限 1．象限角的判定有两种方法： 一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想； 二是先将此角化为k·360°＋α（0°≤α<360°，kZ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角． 2．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解. 【典例】 2．“角是第一或第三象限角”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 利用充分条件和必要条件的定义，结合象限角的正弦、余弦的正负情况进行判断即可. 【详解】 角是第一象限角时，，则；若角是第三象限角，，则.故“角是第一或第三象限角”是“”的充分条件. 若，即或，所以角是第一或第三象限角.故“角是第一或第三象限角”是“”的必要条件. 综上，“角是第一或第三象限角”是“”的充要条件. 故选:C. 3．若，则所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】 由的范围，求出的正负，从而可确定点所在象限． 【详解】 ∵，∴， ∴点在第二象限． 故选：B． 利用同角三角函数基本关系求值 1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 2．的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于的齐次式，或含有及的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“”代换后转化为“切”后求解. 【典例】 4．已知锐角满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据同角的三角函数关系式，结合两角和的余弦公式进行求解即可. 【详解】 因为是锐角，所以，即，而， 所以，因此有，因此有： 故选：A 5．已知为第四象限角，且，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先求出，利用两角差的余弦公式即可求出. 【详解】 因为为第四象限角，且， 所以， 所以 故选：A 利用诱导公式化简、求值 1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值． 2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负． 3．利用诱导公式化简三角函数式的思路： （1）分析结构特点，选择恰当公式； （2）利用公式化成单角三角函数； （3）整理得最简形式． 利用诱导公式化简三角函数式的要求： （1）化简过程是恒等变形； （2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． 【典例】 6．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题首先可根据得出，然后根据诱导公式以及二倍角公式即可得出结果. 【详解】 ，即， ，， 则 ， 故选：B. 同角三角函数的基本关系式、诱导公式综合应用 【典例】 7．已知. （1）化简； （2）若角的终边经过点，求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用诱导公式直接化简即可； （2）由任意角的三角函