考点11 导数的应用-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）

考点11 导数的应用 【命题趋势】 从近五年的考查情况来看，本节一直是高考的重点和难点．一般以基本初等函数为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题，同时与解不等式关系最为密切，还可能与三角函数、数列等知识综合考查，一般出现在选择题和填空题的后两题以及解答题中，难度较大，复习备考的过程中应引起重视. 【重要考向】 本节通过导数研究函数的单调性、极值、最值问题，考查考生的分类讨论思想、等价转化思想以及数学运算、逻辑推理核心素养. 利用导数判断函数的单调性 函数的导数与单调性的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则 (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间上是增加的； (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间上是减少的； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间上是常数函数． 【典例】 1.函数的单调递增区间是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【分析】求导后，令求得的范围即为所求单调递增区间. 【详解】由题意得：. 令得：，的单调递增区间为. 故选：. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间的问题，关键是明确导函数与原函数单调性之间的关系. 含参数函数的单调性 研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (1)讨论分以下四个方面 ①二次项系数讨论； ②根的有无讨论； ③根的大小讨论； ④根在不在定义域内讨论． (2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类． (3)讨论完毕须写综述． 【典例】 2.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】先根据题意将问题转化为在上恒成立，进而得在上恒成立，故令，，研究函数即可得答案. 【详解】解：因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立； 由于， 所以在上恒成立， 故令，， ， 故当时，，当时，， 所以函数在区间单调递减，在区间上单调递增， 所以，解得， 故实数的取值范围为.故选：C. 利用导数比较大小 【典例】 3.已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】构造新函数，求导后易证得在上单调递减，从而有，，，故而得解． 【详解】设，则， ，， 即在上单调递减， ， 即，即，故选项A不正确； ，