考点10 变化率与导数、导数的计算-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）

考点10 变化率与导数、导数的计算 【命题趋势】 从近五年的考查情况来看，本节一直是高考的热点，主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义.导数的运算一般不单独考查，而是在考查导数的应用时与单调性、极值与最值综合考查，导数的几何意义最常见的是求切线方程和已知切线方程求参数值，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等. 【重要考向】 本节通过导数的运算及其几何意义考查考生的数学运算、逻辑推理、直观想象核心素养. 导数的计算 1、导数计算的原则和方法 （1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． （2）方法： ①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； ②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； ⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. 2．求复合函数的导数的关键环节和方法步骤 （1）关键环节： ①中间变量的选择应是基本函数结构； ②正确分析出复合过程； ③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； ④善于把一部分表达式作为一个整体； ⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数. （2）方法步骤： ①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量； ②求每一层基本初等函数的导数； ③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.. 【典例】 1.求下列函数的导数. （1）；（2）. 答案及解析： 1.（1）；（2）. 【分析】根据导数的运算法则进行求导即可． 【详解】（1）函数的导数：； （2）函数的导数：. 【点睛】本题主要考查导数的计算，结合导数的公式以及运算法则是解决本题的关键，比较基础． 导数的几何意义 解题技巧：导数几何意义的应用类型及求解思路 (1)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可． (2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k. (3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢． 【典例】 2.已知函数 （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数的图象在点处的切线方程. 答案及解析： 2.（1）（2） 【分析】（1）运用函数的求导公式及求导法则计算这个函数的导数即可. （2）欲求在点处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决. 【详解】（1）， ∴ （2） 又当时，，所以切点为 ∴切线方程，即 【点睛】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力.属于基础题. 3.已知函数f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）． （Ⅰ）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； （Ⅱ）若曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 答案及解析： 3.（I）；（II）. 【详解】试题分析：（I）由函数的图象过原点可求得，由在原点处的切线斜率为可得进而可求得；（II）由曲线存在两条垂直于轴的切线得有两个不同的根，即，可解得a的取值范围. 试题解析：． （Ⅰ）由题意得，解得． （Ⅱ）∵曲线存在两条垂直于轴的切线， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， ∴即 ∴ ∴a的取值范围是 考点：导数的几何意义. 1.求下列函数的导数： （1）；（2）. 2.（1）函数的导数为，求； （2）设l是函数图象的一条切线，证明：l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关． 3.已知函数在点处的切线方程为，则a、b的值分别为____. 1.（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A． B． C． D． 2．（2020年高考全国Ⅰ卷理数）函数的图像在点处的切线方程为 A． B． C． D． 3．（2020年高考全国III卷理数）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为 A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 4．(2019年高考全国Ⅱ卷)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　　) A.x－y－π－1＝0 B.2x－y－2π－1＝0 C.2x＋y－2π＋1＝0 D.x＋y－π＋1＝0 5.(2018年高考全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为(　　) A.y＝－2x B.y＝－x