23.4 中位线-2021-2022学年九年级数学上册同步教学辅导讲义（华东师大版）

23.4中位线 基础知识 1. 三角形中位线 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 在学习时要注意：(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。 2.三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 。 3.中点三角形与中点四边形 （1）三角形的三条中位线组成的三角形叫做中点三角形。利用三角形中位线定理容易得到：三角形的三条中位线将原三角形分成四个全等的三角形；中点三角形的角与原三角形的角对应相等；中点三角形的边与原三角形的对应边平行，且等于原三角形的对应边的一半；中点三角形的周长等于原三角形的周长的一半；中点三角形的面积等于原三角形的面积的四分之一。 （2）顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形叫中点四边形。利用三角形中位线定理容易说明中点四边形的形状与原四边形的关系。 如图，（1）在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。 连结AC，分别在△ABC和△ACD中，利用三角形中位线定理可得：EF∥AC∥GH，且EF= AC=GH。所以四边形EFGH是平行四边形。 （2）再连结BD，如果BD =AC，则利用三角形中位线定理可得：EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形。 （3）如果BD⊥AC，则利用三角形中位线定理可得：EF⊥FG，此时四边形EFGH是矩形。 （4）如果BD =AC，且BD⊥AC；则利用三角形中位线定理可得：EF=FG=GH=HE，且BD⊥AC。此时四边形EFGH是正方形。 例题 例1．如图，点D，E，F分别是△ABC各边中点． （1）求证：四边形ADEF是平行四边形； （2）若AB=AC=10，BC=12，求四边形ADEF的周长和面积． 【答案】（1）见解析；（2） ， 【分析】 （1）根据三角形中位线性质和平行四边形的判定即可证得结论； （2）根据三角形的中位线性质和等腰三角形的性质得到AD=AF= AB=5，DF= BC＝6，AE⊥BC，证得四边形ADEF是菱形，利用菱形的性质求解即可． 【详解】 （1）证明：∵点E，F分别是BC，AC的点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AB，EF＝ ， ∵ 点D是AB的中点， ∴AD= AB， ∴EF∥AD，EF=AD， ∴四边形ADEF是平行四边形； （2）连接AE，DE ∵AB=AC=10，点D，E，F分别是△ABC各边中点，BC=12， ∴AD=AF= AB=5，DF= BC＝6，AE⊥BC， 在Rt△ABE中，AE= ， 由（1）知四边形ADEF是平行四边形， ∴四边形ADEF是菱形， ∴ 4×5=20 ， ＝24． 【点睛】 本题考查平行四边形的判定、三角形的中位线性质、等腰三角形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 例2．如图，点E在□ABCD外，连接BE，DE，延长AC交DE于F，F为DE的中点． 求证：AF BE； 【答案】见解析． 【分析】 连接BD交AC于点O，证明OF是△DBE的中位线，故可求解． 【详解】 证明：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴点O是BD的中点， ∵F为DE的中点， ∴OF是△DBE的中位线， ∴OF BE， ∴AF BE． 【点睛】 此题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟知平行四边形的性质及中位线的判定定理． 练习 1．如图，在平行四边形 中， ，点 ， 分别是 ， 的中点，则 等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形则这个条件是（ ） A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF 3．如图，在 中，对角线 与 交于点 ，点 为 中点，连接 ，若 平分 则 的度数是（ ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形 中，点E，F，G，H分别是四条边的中点，已知矩形 的面积为 ，周长为28cm，则四边形 的周长是（ ） A．10cm B．20cm C．25cm D．30cm 5．如图，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ， 上的动点（含端点，但点 不与点 重合）点 ， 分别是线段 ， 的中点，若线段 的最大值为2.5，则 的长为（ ） A．5 B． C．2.5 D．3 6．如图，这是一块等腰三角形空地 ，已知点 ， 分别是边 ， 的中点，量得 米， 米，若用篱笆围成四边形 ，则需要篱笆的长是______米． 7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，