3.2.1 基本不等式的证明(2)(Word教参)-【优化探究】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步导学案 苏教版（2019）

3．2.1　基本不等式的证明(2) 学　习　目　标 知　识　网　络 1．进一步理解基本不等式，了解基本不等式的四种形式．(数学抽象) 2．会用基本不等式的性质解决简单的最值问题．(数学运算) [问题导学] 已知x>0，y>0，且x＋y＝4，求＋的最小值．某学生给出如下解法：由x＋y＝4，得4≥2，即≥.又因为＋≥2，所以＋≥，即所求最小值为.请问这位同学的解法是否正确？若解法正确，请说明理由；若解法错误，请给出正确解法． [知识梳理] 知识点　基本不等式 1．基本不等式的四种形式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2)ab≤(a，b∈R)； (3)a＋b≥2(a≥0，b≥0)； (4)ab≤2(a≥0，b≥0)． 2．最值定理：若x，y都是正数，且x＋y＝s，xy＝p，则 (1)如果p是定值，那么当x＝y时，s的值有最小值2； (2)如果s是定值，那么当x＝y时，p的值有最大值s2. 注意： ①前提是“一正二定三相等”，如果没有满足前提，那么应根据题目创设情境，还要注意选择恰当的公式； ②“和定积最大，积定和最小”，可用来求最值； ③基本不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取“＝”的条件是否一致． 微思考 当利用基本不等式求最大(小)值时，若等号取不到，应如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的图象和性质等知识来求解．例如，求x＋在x≥2时的最小值，令y＝x＋，画出函数图象如图所示，易知当x＝2时，ymin＝. 题型1　求函数最值 [例1]　(1)已知x>0，求y＝2－x－的最大值； (2)已知x>2，求y＝x＋的最小值； (3)已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值； (4)求函数y＝(x>1)的最小值． [解析]　(1)∵x>0，∴x＋≥4， ∴y＝2－≤2－4＝－2. 当且仅当x＝(x>0)，即x＝2时取得等号， ∴ymax＝－2. (2)∵x>2，∴x－2>0， ∴y＝x＋＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝4. 当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号， ∴ymin＝4. (3)∵0<x<，∴1－2x>0，∴y＝×2x(1－2x)≤2＝. 当且仅当2x＝1－2x， 即x＝时取等号，∴ymax＝. (4)法一：y＝＝＝x－1＋＋2. ∵x>1，∴x－1>0，∴y≥2 ＋2＝8. 当且仅当x－1＝(x>1)，即x＝4时取等号， ∴ymin＝8. 法二：令x－1＝t.∵x>1，∴t>0，且x＝t＋1， ∴y＝＝＝t＋＋2. ∵t>0，∴y≥2＋2＝8. 当且仅当t＝，即t＝3时取等号，此时x＝4，ymin＝8. 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形、合理拆分项和配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备． 1．(1)已知x>，求代数式4x－2＋的最小值； (2)已知x<，求代数式4x－2＋的最大值． 解析：(1)∵x>，∴4x－5>0， ∴4x－2＋＝4x－5＋＋3≥2 ＋3＝5， 当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号． ∴当x＝时，4x－2＋取得最小值5. (2)∵x<，∴4x－5<0，∴5－4x>0， ∴4x－2＋＝4x－5＋＋3. ∵5－4x＋≥2 ＝2， 当且仅当5－4x＝，即x＝1时取等号， ∴4x－5＋≤－2，∴4x－5＋＋3≤－2＋3，即y≤1. 故当x＝1时，4x－2＋取得最大值1. 题型2　条件最值问题 [例2]　(1)已知x，y均为正数，且＋＝1，求x＋y的最小值； (2)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值． [解析]　(1)法一：∵x，y均为正数，且＋＝1，∴x>1，y＝. ∴x＋y＝x＋＝＝ ＝x－1＋＋10≥2 ＋10＝16. 当且仅当x＝4时取等号，此时y＝12，∴(x＋y)min＝16. 法二：∵x，y均为正数，且＋＝1，∴x>1，y>9. 由＋＝1，得y＋9x＝xy，即xy－9x－y＋9－9＝0，∴(x－1)(y－9)＝9. ∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2＋10＝2×3＋10＝16. 当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时取等号， ∴(x＋y)min＝16. 法三：x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16. 当且仅当＝且＋＝1， 即x＝4，y＝12时取等号，∴(x＋y)min＝16. (2)设＝t(t>0)，由xy＝2x＋y＋6≥2＋6，得t2≥2t＋6， 即(t＋)(t－3)≥0，∴t≥3，即xy≥18， 当且仅当2x＝y,2x＋y＋6＝xy，即x＝3，y＝6时，等号成立．故xy的最小值为18. 利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆