2.4.2 圆的一般方程（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版）

2．4.2　圆的一般方程 学　习　目　标 知　识　导　图 1.理解圆的一般方程及其特点．(数学抽象) 2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化．(数学运算) 3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．(逻辑推理) 授课提示：对应学生用书第46页 [问题导学] 1．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)展开可得到一个什么式子？ 2．把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程是不是就一定表示圆？ 　　　 [知识梳理] 知识点一　圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其中圆心为. ，半径为 微练习 1．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是(　　) A．k>1　　　　　　 B．k<1 C．k≥1 D．k≤1 解析：由题意得(－4)2＋22－4×5k>0，k<1. 答案：B 2．已知圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0，则圆心坐标、半径的长分别是(　　) A．(2，－1)，3 B．(－2,1)，3 C．(－2，－1)，3 D．(2，－1)，9 解析：由题意知圆心坐标为(2，－1)， 半径为＝3. 答案：A 知识点二　轨迹方程 (1)点M的轨迹方程是指点M的坐标(x，y)满足的关系式． (2)轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形．在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹(集合)． (3)求符合某种条件的动点M的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标化”将其转化为关于变量x，y之间的方程． 微练习 3．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为(　　) A．x2＋y2＝25(y≠0) B．x2＋y2＝25 C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0) D．(x－2)2＋y2＝25 解析：线段AB的中点为(2,0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点(2,0)的距离为＝5(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝25(y≠0)． |AB|＝5，所以点C(x，y)满足 答案：C 授课提示：对应学生用书第47页 题型一　圆的一般方程的概念 [例1]　判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径． (1)3x2＋y2＋2x＋1＝0； (2)x2＋y2＋xy＋1＝0； (3)x2＋y2＋x＋2y＋1＝0； (4)x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0. [解析]　(1)由于x2，y2的系数不相等，∴该二元二次方程表示的不是圆． (2)由于该二次方程中含有xy项，∴该二元二次方程表示的不是圆． (3)由于D2＋E2－4F＝1＋4－4＞0，∴该二元二次方程表示的是圆． 又x2＋y2＋x＋2y＋1＝为半径的圆．为圆心，以，∴它表示以＋(y＋1)2＝＝0，即2＋(y＋1)2－ (4)法一：∵D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆，此时圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|. ＝ 法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示一个圆，其圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|. 判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤 先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即①x2与y2的系数相等；②不含xy项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数即可． [跟踪训练] 1．已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆． (1)求实数m的取值范围； (2)求该圆半径的取值范围． 解析：(1)方程化为[x－(m＋3)]2＋[y＋(1－4m2)]2＝－7m2＋6m＋1， ∴－7m2＋6m＋1＞0，－＜m＜1， ∴方程表示圆时，m的取值范围为. (2)r＝ ＝ ， ≤ ∴圆的半径r的取值范围为. 题型二　求圆的一般方程 [例2]　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程． [解析]　法一：设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得得 ∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. 法二：设所求的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意得得 故所求的圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5. 用待定系数法求圆的方程时，一般方程和标准方程的选择 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求