2.4.2 圆的一般方程（word教参）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．4．2　圆的一般方程 课程内容标准 学科素养凝练 1.探索并掌握圆的一般方程． 2．能进行圆的一般方程和标准方程的互化． 3．会根据不同的条件利用待定系数法求圆的一般方程． 4．初步掌握点的轨迹方程的求法，并能简单应用． 通过圆的一般方程的学习，发展数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． [对应学生用书P44] 当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径为 . 1．点M的轨迹方程是指点M的坐标(x，y)满足的关系式． 2．轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形．在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹(集合)． 3．求符合某种条件的动点M的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标化”将其转化为关于变量x，y之间的方程． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．(×) (2)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√) (3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化．(√) (4)利用待定系数法求圆的方程，需要三个独立的条件．(√) 2．(教材P88练习题2改编)若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是(　B　) A．(1，＋∞)　　　　　　　 B．(－∞，1) C．[1，＋∞) D．(－∞，1] 3．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3，0)和(7，0)，则直角顶点C的轨迹方程为(　C　) A．x2＋y2＝25(y≠0) B．x2＋y2＝25 C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0) D．(x－2)2＋y2＝25 4．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，且圆的面积为π，那么圆心坐标为(0，－1)． [对应学生用书P45] [知能解读]　二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是 判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径． (1)3x2＋y2＋2x＋1＝0；(2)x2＋y2＋xy＋1＝0； (3)x2＋y2＋x＋2y＋1＝0； (4)x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0. 解　(1)由于x2，y2的系数不相等，∴该二元二次方程表示的不是圆． (2)由于该二次方程中含有xy项，∴该二元二次方程表示的不是圆． (3)由于D2＋E2－4F＝1＋4－4＞0，∴该二元二次方程表示的是圆． 又x2＋y2＋x＋2y＋1＝＋(y＋1)2＝， ∴它表示以为圆心，以为半径的圆． (4)方法一　∵D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆，此时圆心为(2m，－m)，半径为r＝ ＝|m－2|. 方法二　原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示一个圆，其圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|. [方法总结]　判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤 先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即①x2与y2的系数相等；②不含xy项．当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2＋E2－4AF是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数即可 [训练1]　已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆． (1)求实数m的取值范围； (2)求该圆半径的取值范围． 解　(1)方程化为[x－(m＋3)]2＋[y＋(1－4m2)]2＝－7m2＋6m＋1， ∴－7m2＋6m＋1＞0，解得－＜m＜1， ∴方程表示圆时m的取值范围为(－，1). (2)r＝ ＝ ≤， ∴圆的半径r的取值范围为. 已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC外接圆的方程． 解题流程： 第一步　泛读题目明待求结论：求△ABC外接圆的方程． 第二步　精读题目挖已知条件：已知A(2，2)，B(5，3)， C(3，－1). 第三步　建立联系寻解题思路：利用待定系数法． 第四步　书写过程养规范习惯． 解　方法一　设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得 得 ∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. 方法二　设所求的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题意得 得 故所求的圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5. [变式]　已知圆过A(2，2)，C(3，－1)，且圆关于直线y＝x对称，求圆的一般方程． 解　设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得得 ∴所求