第9讲 分式不等式与绝对值不等式-【A+课堂】2021-2022学年高一数学同步精讲精练（沪教版2020必修第一册）

第9讲 分式不等式与绝对值不等式 知识一 分式不等式 分式不等式的解法： 求解分式不等式，等价于要求分子分母同号，即或，这样就可以将分式不等式化为不等式组来求解.另一方面，分子分母同号也等价于（ax+b）(cx+d)>0，这就也能将分式不等式化为整式不等式求解. 题型一、简单的分式不等式 【例1】解下列不等式： (1)； (2)；(3). 【答案】(1);(2);(3). 【解析】(1)原不等式等价于x+1与2x-1异号， 也就是(x＋1)(2x－1)<0， 所以， 故原不等式的解集为. (2)原不等式可化为， 另外，要使原不等式左端的分式有意义，要求3x+5≠0. 于是，原不等式等价地转化为，即. 故原不等式的解集为. (3)移项并整理，可将原不等式可化为， 则x<－2. 故原不等式的解集为． 方法总结：分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 【例2】(2020年上海高一必修1教材练习）解下列不等式： （1）；（2）；（3）. 【答案】(1);(2);(3)Ø. 【解析】（1）由于对于所有实数x，都有x2+2x+3=(x+1)2+2>0.在原不等式两边同时乘x2+2x+3，可将原不等式等价地转化为x+5≤x2+2x+3. 移项整理得x2+x-2≥0,即(x-1)(x+2)≥0.所以，原不等式的解集为. (2)由于对于所有实数x，都有x2-4x+5=(x-2)2+1>0.在原不等式两边同时乘x2-4x+5，可将原不等式等价地转化为x-1>x2-4x+5. 移项整理得x2-5x+6<0,即(x-2)(x-3)<0.所以，原不等式的解集为. (3)由于对于所有实数x，都有x2+x+1=>0.在原不等式两边同时乘x2+x+1，可将原不等式等价地转化为4-x≤-(x2+x+1). 移项整理得x2+5≤0,不等式无解.所以，原不等式的解集为Ø. 【例3】（2020年上海华东师范大学附属东昌中学高一课时练习）解不等式（组） （1） （2） 【答案】(1);(2). 【解析】(1)原不等式可转化为x(x+1)(x+2)≤0,且x≠0，根据数轴标根法，标根 所以，原不等式的解集为. (2)原不等式组可化为，即，解得 所以，原不等式的解集为. 题型二、含参数的分式不等式 【例4】关于x的不等式的解集是{x|<x<1},求a,b的值. 【答案】a=4,b=2. 【解析】(注意多种解法）因为x2+x+1=,x2-x+1=, 所以原不等式等价于(x-a)(x2-x+1)>(x-b)(x2+x+1). 整理得(a-b+2)x2-(a+b)x+a-b<0.① 由已知可得当x∈{x|<x<1}时,( x-) (x-1)<0. 即2x2-3x+1<0,② 比较①②可知. 故a=4,b=2. 举一反三 1.不等式的解集为(　　) A.{x|x>1} B.{x|x<-2} C.{x|-2<x<1} D.{x|x>1或x<-2} 【答案】C 【解析】原不等式等价于(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1.故选C. 2.(2020·上海交大附中高三模拟)下列不等式中,与不等式同解的是(　　) A.(x-3)(2-x)≥0 B.(x-3)(2-x)>0 C. D. 【答案】D 【解析】不等式等价为,故选D. 3.解下列不等式： (1)；(2).（3）. 【答案】(1);(2)；(3)Ø. 【解析】(1)原不等式可转化为(2x－5)(x＋4)<0，即－4<x<， 所以，原不等式的解集为. (2)移项并整理，可将原不等式可化为， 另外，要使原不等式左端的分式有意义，要求2x-3≠0. 于是，原不等式等价地转化为，即. 故原不等式的解集为. (3)由于对于所有实数x，都有x2+x+1=>0.在原不等式两边同时乘x2+x+1，可将原不等式等价地转化为4-x≤-(x2+x+1). 移项整理得x2+5≤0,不等式无解.所以，原不等式的解集为Ø. 4.解不等式:(1);(2). 【答案】(1);(2). 【解析】(1)移项并整理，可将不等式转化为， 另外，要使原不等式左端的分式有意义，要求x-2≠0. 于是，原不等式等价地转化为，即. 故原不等式的解集为. (2)要使原不等式左端的分式有意义，要求x-1≠0.所以(x-1)2>0, 所以不等式两边同时乘以(x-1)2，不等式转化为x+1>(x-1)2 移项整理得，x2-3x<0,即0<x<3,且x≠1,故不等式的解集为 5．若实数