2.2.4 含绝对值不等式的求解（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

2.2.4 含绝对值不等式的求解 题型一 解不等式右侧是常数的单绝对值不等式 1．（23-24高一上·上海金山·期中）不等式的解集是 . 2．不等式的解集为 . 3．不等式的解集为 . 4．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 ． 题型二 解不等式右侧是式子的单绝对值不等式 5．关于x的不等式的解集为 . 6．不等式的解集为 . 7．不等式的解集为 . 8．不等式的解集为 . 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为 ． 10．不等式的解集是 11．关于的不等式：的解集为 . 题型一 解双绝对值不等式 12．解不等式：. 13．解不等式：． 14．解不等式：． 15．（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式. 16．不等式的解集为 . 17．不等式的解集是 ． 18．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 19．解不等式：． 20．不等式的解集为 . 21．（22-23高一上·上海宝山·期中）解下列不等式： (1) (2) 22．（23-24高一上·上海静安·期中）设，则不等式的等号成立时x的取值范围为 题型二 解双（多）绝对值等式 23．已知，则实数的取值范围为 . 24．方程的解集是 ． 25．关于x的方程的解集为 ． 26．（24-25高一上·上海·期中）已知，则方程的解集为 . 题型三 解含有绝对值不等式的不等式组 27．不等式组的解集为 . 28．求下列不等式组的解集：. 29．（23-24高一上·上海普陀·期中）求解下列不等式组或方程： (1) (2)． 题型四 恒成立问题 30．对任意的实数，若不等式恒成立，则的取值范围是 31．若对所有实数x恒成立，则当等号成立时，x的取值范围是 ． 32．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 . 33．（24-25高一上·上海·期中）使不等式中等号成立的x的取值范围是 . 34．（24-25高一上·上海·期中）若对所有实数恒成立，则当等号成立时，的取值范围是 . 1．关于的不等式解集是 ． 2．“”是“”的 条件 3．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是 ． 4．若关于x的不等式解集非空，则实数a的取值范围是 ． 5．若不等式与不等式同解，而的解集为空集，求实数k的取值范围． 6．解不等式． 7． 为任意实数，则 的最小值为 . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.4 含绝对值不等式的求解 题型一 解不等式右侧是常数的单绝对值不等式 1．（23-24高一上·上海金山·期中）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】由不等式的性质直接得出. 【详解】 故答案为： 2．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】运用绝对值解法求解，将结果写成集合即可. 【详解】由解得， 即 所以不等式的解集为. 故答案为：. 3．不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】由题意得，再解一元二次不等式组，求出交集即可. 【详解】，，或，则不等式的解集为：或. 故答案为：或. 4．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】分情况讨论，去掉绝对值符号，转化为一元二次不等式求解. 【详解】易知时，不等式不成立. 当时，原不等式可化为：，∴； 当时，原不等式可化为：（舍去）或，∴. 综上，. 故答案为： 题型二 解不等式右侧是式子的单绝对值不等式 5．关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】对x进行分类去绝对值，求解后取并集可得. 【详解】当，即时，原不等式等价于，解得， 所以，； 当，即时，原不等式等价于，解得， 所以，. 综上，原不等式的解集为. 故答案为： 6．不等式的解集为 . 【答案】 【解析】根据绝对值的定义，分和两种情况讨论，即可求得不等式的解集. 【详解】由题意，不等式， 当时，不等式等价于，解得， 此时不等式的解集为； 当时，不等式等价于，解得， 此时不等式的解集为， 综上可得，不等式的解集为. 7．不等式的解集为 . 【答案】 【解析】首先将不等式等价于，再分类讨论解不等式即可. 【详解】不等式，因为，所以. 当时，，解得. 当时，，无解. 所以不等式的解集为. 故答案为： 8．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分和讨论去绝对值后，解出不等式即可. 【详解】解：当时，，解得， 当时，，解得， 综合得不等式的解集为. 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】解决绝对值不等式，先讨论不等式的右边的正负，当右边为负数时显然成立，当右边为非负数时对不等式两边同时平方，然后解二次不等式即可得出结果. 【详解】当，即时，显然成立； 当，即时， 即 化简得：， ∴ ∴ ∴综上所述： 故答案为： 10．不等式的解集是 【答案】 【分析】通过分类讨论法去掉不等式中的绝对值即可求解. 【详解】①当时，即时，，故， ②当时，即时，由， 又因为恒成立，故， 综上所述，的解集为或. 故答案为：. 11．关于的不等式：的解集为 . 【答案】 【解析】由不等式，分和两种情况讨论，即可求解. 【详解】由题意，不等式， ①当时，即或时，此时， 不等式转化为恒成立，即不等式的解集为或； ②当时，即时，此时不等式可化为恒成立， 即不等式的解集为， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 题型一 解双绝对值不等式 12．解不等式：. 【答案】或 【分析】将不等式分进行分类讨论，求得不同情况下不等式的解集，再求并集即可. 【详解】由. 当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为，解得. 综上可得原不等式的解集为或 . 13．解不等式：． 【答案】． 【分析】根据绝对值的定义分类讨论求解． 【详解】考虑临界点和1把数轴分为三个区间：，，． ①当时，原不等式变形为， 化简得，解得； ②当时，原不等式变形为，无解； ③当时，原不等式变形为，解得． 综上，原不等式的解集为． 14．解不等式：． 【答案】或 【分析】分段去绝对值符号，转化为一元一次不等式组求解即得. 【详解】不等式等价于或或，解得或， 所以原不等式的解集为或. 15．（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式. 【答案】 【分析】分类讨论开绝对值即可求解. 【详解】当时，， 此时不等式无解； 当时，， 此时； 当时，， 此时. 综上：原不等式的解集为. 16．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分类讨论解绝对值不等式. 【详解】当时，，解得，此时； 当时，，即恒成立，此时； 当时，，解得，此时； 故解集为. 故答案为： 17．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】零点分段法求解绝对值不等式. 【详解】当时，，解得，此时解集为空集， 当时，，即，符合要求，此时解集为， 当时，，解得，此时解集为空集， 综上：不等式的解集为. 故答案为： 18．（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分类讨论去掉绝对值符号即可得解. 【详解】当时，原不等式可化为，解得，又，； 当时，原不等式可化为，不等式成立； 当时，原不等式可化为，解得，又，； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 19．解不等式：． 【答案】． 【分析】分类讨论去掉绝对值解出来即可. 【详解】解：当时，原不等式可以化为，解得； 当时，原不等式可以化为即．恒成立； 当时，原不等式可以化为．解得． 综上，原不等式的解集为． 20．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用零点分段法，分三种情况进行求解，得到答案. 【详解】，当时，，解得，故解集为， 当时，，解集为， 当时，，解得，故解集为， 综上：不等式的解集为. 故答案为： 21．（22-23高一上·上海宝山·期中）解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，在不等式两边同时平方，结合二次不等式的解法解原不等式，即可得解； （2）分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集. 【详解】（1）解：由题意可知，即， 在不等式两边平方可得，即， 解得，此时. 因此，不等式的解集为. （2）解：当时，则有，解得，此时； 当时，则有恒成立，此时； 当时，则有，解得，此时. 综上所述，原不等式的解集为. 22．（23-24高一上·上海静安·期中）设，则不等式的等号成立时x的取值范围为 【答案】 【分析】根据x的范围分类讨论，去掉绝对值求解即可. 【详解】， 所以的等号成立时， 即或或， 解得：， 故答案为： 题型二 解双（多）绝对值等式 23．已知，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】讨论去绝对值求解. 【详解】由， 当时，上式为，解得（舍）， 当时，上式为，解得（舍）， 当时，上式为. 所以实数的的取值范围为. 故答案为：. 24．方程的解集是 ． 【答案】/. 【分析】利用零点分区间法去绝对值符号，分段解方程. 【详解】当时，原方程化为：，即， 故此时； 当时，原方程化为：，即， 故此时. 当时，原方程化为：，即， 当时，原方程化为：，即，舍去. 综上所述：方程的解集为：. 故答案为：. 25．关于x的方程的解集为 ． 【答案】； 【分析】分，，和，讨论求解. 【详解】解：当时，原不等式为，解得，不成立； 当时，原不等式为，解得，不成立； 当时，原不等式为，恒成立； 当时，原不等式为，解得，不成立； 所以原不等式的解集为， 故答案为： 26．（24-25高一上·上海·期中）已知，则方程的解集为 . 【答案】或， 【分析】分类讨论去绝对值，即可求解. 【详解】当时，方程为，解得， 当时，方程为，解得， 当时，方程为，解得，不符合，舍去， 当时，方程为，解得，不符合，舍去， 综上可得解集为或， 故答案为；或， 题型三 解含有绝对值不等式的不等式组 27．不等式组的解集为 . 【答案】{或}． 【分析】分类讨论得到不等式组，解出即可. 【详解】不等式组可化为或 解得或， 故原不等式组的解集为{或}． 故答案为：{或}． 28．求下列不等式组的解集：. 【答案】 【分析】通过绝对值不等式的解法解出的解集，再通过分式不等式的解法解出的解集，再取交集即可得出答案. 【详解】对于不等式进行分类讨论，有： 当时，原不等式等价于，解得：，此时， 当时，原不等式等价于，不等式恒成立，此时， 当时，原不等式等价于，解得：，此时， 所以，不等式的解集为：； 对于不等式，等价于，解得：或； 综上所述：不等式组的解集为： . 29．（23-24高一上·上海普陀·期中）求解下列不等式组或方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据绝对值不等式以及分式不等式解法即可求出该不等式组的解集为； （2）对的取值进行分类讨论，分别解方程即可求出该方程的解集为. 【详解】（1）对于不等式可得或， 解得或； 对于不等式可得，即， 等价于，解得； 所以不等式组的解集为或， 即该不等式组的解集为 （2）对于方程， 当时，原方程可化为，显然等式恒成立； 当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，此时方程无解； 当时，原方程可化为，显然恒成立， 综上可知，方程的解集为. 题型四 恒成立问题 30．对任意的实数，若不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】 【分析】使用零点分段法求得的最小值，然后可得结果. 【详解】时，则 时，则 时，则 综上所述， 故答案为： 31．若对所有实数x恒成立，则当等号成立时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分，，讨论可得答案. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， x的取值范围是. 故答案为：. 32．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，然后分类讨论去绝对值号，求解出函数的最小值，然后求解出的取值范围． 【详解】设， 当时，，此时， 当时，， 当时，，此时， 所以函数的最小值为3， 对一切恒成立，只需， . 故答案为：. 33．（24-25高一上·上海·期中）使不等式中等号成立的x的取值范围是 . 【答案】 【分析】绝对值不等式可以通过讨论绝对值内代数式值的正负来去掉绝对值符号，从而化简为一次不等式，求出对应解集即可. 【详解】当时，原不等式化简为,不合题意； 当时，原不等式化简为，符合题意； 当时，原不等式化简为，不合题意； 综上所述：. 故答案为：. 34．（24-25高一上·上海·期中）若对所有实数恒成立，则当等号成立时，的取值范围是 . 【答案】/ 【分析】分，，讨论可得答案. 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得 因此可得的取值范围是. 故答案为：. 1．关于的不等式解集是 ． 【答案】 【分析】分和分别解一元二次不等式即可求解. 【详解】当时，不等式化为，解得，即； 当时，不等式化为，解得，即. 综上所述，不等式的解集为． 故答案为：． 2．“”是“”的 条件 【答案】必要不充分 【分析】求出的解集，并判断与此解集的推出关系得出结论. 【详解】当时，方程为化为，此时成立； 当时，方程为化为，解得舍去； 当时，方程为化为，此时舍去； 当时，方程为化为，此时成立； 故的解集为. 由可推得，反之不成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 3．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解不等式得到，，则或，得到，解得答案. 【详解】， 当时，，解得，故； 当时，，不成立； 当时，，解得，故； 综上所述：， ，则或， 由题意可得：，解得，即. 故答案为：. 4．若关于x的不等式解集非空，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别讨论不等式在、、上有解时，的取值范围，即可得到结果. 【详解】当时，原不等式可化为，即，则要使不等式在上有解，只需即可； 当时，原不等式可化为，即，则要使不等式在上有解，则应满足即可； 当时，原不等式可化为，即，则要使不等式在上有解，只需即可. 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. 5．若不等式与不等式同解，而的解集为空集，求实数k的取值范围． 【答案】． 【分析】先将“不等式”转化为和两种情况求解，最后取并集，再由“与不等式同解”，利用韦达定理求得，最后由“的解集为空集”求得“”最小值即可． 【详解】得 或得， 综上不等式的解集为， 又由已知与不等式同解， 所以解得 则 所以当的解为空集时，. 故答案为:. 6．解不等式． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论参数即可解. 【详解】解：因为，故分以下两种情况讨论： ①当，即时，原不等式无解，即不等式的解集为． ②当，即时，原不等式可变为． 所以． 综上可知，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 7． 为任意实数，则 的最小值为 . 【答案】510 【分析】利用零点分段去绝对值，结合函数单调性求最小值. 【详解】①时， ， 当时，有最小值； ②时， ， 当时，有最小值； ③时， ， 此时； ④时， ， 当时，有最小值； ⑤时， ， 当时，有最小值； ⑥时， ， 当时，有最小值. 综上可知，当时，的最小值为. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$