第8讲 一元二次方程根的分布（拓展）-【A+课堂】2021-2022学年高一数学同步精讲精练（沪教版2020必修第一册）

第8讲 一元二次方程根的分布与高次方程 知识一 根的分布 二次方程的根从几何意义上来说就是抛物线与轴交点的横坐标，所以研究方程的实根的情况，可从的图象上进行研究． 若在内研究方程的实根情况，只需考察函数与轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由的系数可判断出的符号，从而判断出实根的情况． 若在区间内研究二次方程，则需由二次函数图象与区间关系来确定． 1．二次方程有且只有一个实根属于的充要条件 若其中一个是方程的根，则由韦达定理可求出另一根． 若不是二次方程的根，二次函数的图象有以下几种可能： （1） 　　　 （2） （3） （4） 由图象可以看出，在处的值与在处的值符号总是相反，即；反之，若，的图象的相对位置只能是图中四种情况之一．所以得出结论： 若都不是方程的根，记，则有且只有一个实根属于的充要条件是． 2．二次方程两个根都属于的充要条件 方程的两个实根都属于，则二次函数的图象与轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都大于小于，它的图象有以下几种情形： （1） （2） （3） （4） 由此可得出结论： 方程的两个实根都属于区间的充要条件是： 这里 ． 同理可得出： 3．二次方程的两个实根分别在区间的两侧（一根小于，另一根大于）的充要条件是： 这里． 4．二次方程的两个实根都在的右侧（两根都大于n）的充要条件是： 二次方程的两个实根都在的左侧（两根都小于）的充要条件是： 这里． 题型探究 【例1】已知方程有两个负根，求的取值范围． 【答案】m≥11 【解析】依题意有 　　　． 【例2】求实数的范围，使关于的方程． (1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小． (2)有两个实根，且满足． (3)至少有一个正根． 【答案】(1)m<-1;(2);(3)m≤-1. 【解析】设． (1)依题意有，即，得． (2)依题意有 　　　　　　　　解得：． 　　(3)方程至少有一个正根，则有三种可能： 　　　　　①有两个正根，此时可得，即． 　　　　　②有一个正根，一个负根，此时可得，得． 　　　　　③有一个正根，另一根为０，此时可得　　． 　　　综上所述，得． 【例3】已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围. (2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围. 【答案】(1);(2). 【解析】(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，则 ， ∴实数m的范围是. (2)据抛物线与x轴交点落在区间 (0，1) 内，列不等式组 - <m≤1-, ∴ 实数m的范围是. 【例4】已知二次方程的两个根都小于1，求的取值范围． 【答案】. 【解析】解一：二次方程两个根都小于1，其充要条件为 （1）即为，它的解集是． （2）即为，它的解集是． （3）的解集是． 所以，的取值范围是． 解二：二次方程有两个根的充要条件是． 设两根为，由于都小于1，即，其充要条件为： 即 因此，方程两个根都小于1的充要条件是： 以下同解法一（略）． 解三：令，原方程转化为，即 （*） 因为原方程两根都小于1，所以方程（*）的两个实根都小于0，其充要条件是： 同样可求出的取值范围（略）． 举一反三 1.已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m的取值范围． 【答案】. 【解析】原方程即为 (x + 1)(x + 3m-2)=0，所以方程两根分别为-1, 2-3m，而-1在(-3,1)上，则由题意，另一根满足 -3<2-3m<3 . 2.已知方程2x2 – 2(2a-1)x + a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取值范围． 【答案】. 【解析】设f(x) = 2x2 – 2(2a-1)x + a+2，则原方程两根都属于 (-3, 3)的充要条件为 即，解得 ， 故a的取值范围是． 3.如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围. 【答案】m≤1且m≠0. 【解析】∵f(0)=1>0 (1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意. (2）当m>0时，则解得0＜m≤1 综