第7讲 一元不等式的解法-【A+课堂】2021-2022学年高一数学同步精讲精练（沪教版2020必修第一册）

第7讲 一元不等式的解法 知识一 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值称为该不等式的解. 一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集. 求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式. 将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组. 解不等式组就是求解不等式组中的所有不等式的解集的交集. 题型一、一元一次不等式的求解 【例1】 解不等式，并将解集在数轴上表示出来. 【答案】 【解析】去分母，得 去括号，得 x-1>2x+1 移项，得 -x>2 两边同乘以-1，得 x< -2 所以，原不等式的解集是 . 【例2】（2020年上海高一必修1教材例题）设a为实数，求一元一次不等式ax<1的解集. 【答案】当a>0时，解集为； 当a=0时，解集为R； 当a<0时，解集为. 【解析】由不等式的性质，当a>0时，解集为； 当a=0时，解集为R； 当a<0时，解集为. 【例3】（2020年上海高一必修1课时练习）设a≠1，解关于x的不等式ax<a2+x-1 【答案】当a>1时，解集为;当a<1时，解集为. 【解析】移项，得（a-1)x<a2-1 因为a≠1，所以当a>1时，a-1>0,则x<,解集为; 当a<1时，a-1<0,则x>,解集为. 题型二、一元一次不等式组的求解 【例4】解不等式组，并将解集在数轴上表示出来. 【答案】，数轴略. 【解析】由原不等式组 得 即 所以，原不等式的解集是. 【例5】（2020年上海高一必修1教材例题）设a为实数，解一元一次不等式组· 【答案】当a>0时，解集为;当a≤0时，解集为空集Ø. 【解析】 根据不等式的性质，原不等式组等价于 整理得 当a>0时，解集为;当a≤0时，解集为空集Ø. 【例6】（2020年上海高一必修1课时练习）若关于x的不等式的整数解共有4个，求实数m的取值范围. 【答案】6<m≤7 【解析】根据不等式的性质，原不等式组等价于 整理得 因为不等式组的整数解共有4个， 则有整数解有3，4，5，6这4个，故m在6与7之间，则m的取值范围是6<m≤7. 举一反三 1. （2020年上海高一必修1课时练习） (1)2(x+1)-3(x-2)>8; (2) 【答案】(1);(2). 【解析】(1)去括号，得2x+2-3x+6>8 整理得，-x>0,则x<0，所以解集为； (2) 由原不等式组可得， 解得，，所以不等式组的解集为. 2.（2020年上海高一必修1课时练习）解下列关于x的不等式： （1）ax+4<2x+a2，其中a>2;（2）mx+1>x+m3，其中m<1. 【答案】(1);(2); 【解析】(1)移项，得（a-2)x<a2-4 因为a>2时，a-2>0,则x<,解集为; (2)移项，得（m-1)x<m3-1 因为m<1时，m-1<0,则x<,解集为; 3.（2020年上海高一必修1课时练习）当x 时，代数式的值是非负数. 【答案】≤5 【解析】因为代数式的值是非负数，所以，则去分母得，3(x+3)-(5x-1)≥0, 则x≤5. 4.（2020年上海高一必修1课时练习）关于x 的不等式 2x-2 <(x-3)-(5-x)的解集是 . 【答案】Ø 【解析】去括号得， 2x-2 <x-3-5+x,则-2<-8.所以不等式无解，即解集为空集Ø. 5.（2020年上海高一必修1课时练习）关于x 的不等式的解集是 . 【答案】｛x|x≥7｝ 【解析】去分母得，3(x+7)+2(5-2x)≤24, 去括号得，3x+21+10-4x≤24 则-x≤-7所以不等式的解集为｛x|x≥7｝. 6.（2020年上海高一必修1课时练习）不等式3(x-2)≤x+4的非负整数解有 个. 【答案】6 【解析】去括号得，3x-6≤x+4,解得x≥5，所以非负整数解有5，4，3，2，1，0，共6个. 7.（2020年上海高一必修1课时练习）若(m-2)x2m+1-1>5是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为 . 【答案】 【解析】因为(m-2)x2m+1-1>5是一元一次不等式，则2m+1=1，则m=0，所以不等式可化为-2x-1>5，解得x<-3，所以不等式的解集为. 8.（2020年上海高一必修1课时练习）已知不等式与ax-6>5x同解，则实数a的值是 . 【答案】2 【解析】因为不等式与ax-6>5x同解，不等式