专题三 平面向量的平行与垂直-2022年高考数学之解密平面向量命题点对点突破（全国通用）

专题三　平面向量的平行与垂直 1．平面向量平行(共线)的充要条件的两种形式 (1)平面向量平行(共线)充要条件的非坐标形式：a∥b(b≠0)⇔a＝λb． (2)平面向量平行充要条件的坐标形式：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0； 至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的用(2)．这是代数运算，用它解决平面向量平行(共线)问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．当x2y2≠0时，a∥b⇔＝，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．公式x1y2－x2y1＝0无条件x2y2≠0的限制，便于记忆；公式＝有条件x2y2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．乘积形式可总结为：“相异坐标的乘积的差为0”． 2．三点共线的充要条件的三种形式 (1)A，P，B三点共线⇔＝λ (λ≠0) (2)A，P，B三点共线⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R) (3)A，P，B三点共线⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)． 3．非零向量垂直的充要条件的两种形式 (1)平面向量垂直的非坐标形式：a⊥b⇔ a·b＝0． (2)平面向量垂直的坐标形式：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0； 至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b．一般情况涉及坐标的用(2)．坐标形式可总结为：“相应坐标的乘积的和为0”． 考点一　平面向量的平行 【方法总结】 两平面向量平行的充要条件既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当然也可解决三点共线的问题．高考试题中一般是考查已知两向量平行或三点共线求参数，并且以给出向量的坐标为主．解决此类问题的方法是借助两平面向量平行的充要条件列出方程(组)，求出参数的值．注意方程思想和待定系数法的运用． 【例题选讲】 [例1] (1)设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(　　) A．反向平行　　　　　B．同向平行　　　　　C．互相垂直　　　　　D．既不平行也不垂直 答案　A　解析　由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋，因此＋＋＝＋(＋－)＝＋＝－，故＋＋与反向平行． (2)已知向量m＝(1，7)与向量n＝(k，k＋18)平行，则k的值为(　　) A．－6　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．4　　　　　　　　D．6 答案　B　解析　因为m∥n，所以7k＝k＋18，解得k＝3．故选B． (3)(2018·全国Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________． 答案　　解析　2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝． (4)已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则(　　) A．A，B，C三点共线 　　　　　　　　　　B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线　　　　　　　　　　D．B，C，D三点共线 答案　B　解析　∵＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，∴，共线，又有公共点B，∴A，B，D三点共线．故选B． (5)若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________． 答案　－　解析　＝(a－1，3)，＝(－3，4)，根据题意∥，∴4(a－1)－3×(－3)＝0，即4a＝－5，∴a＝－． (6)已知向量a＝(1，1)，点A(3，0)，点B为直线y＝2x上的一个动点．若∥a，则点B的坐标为________． 答案　(－3，－6)　解析　设B(x，2x)，则＝(x－3，2x)．∵∥a，∴x－3－2x＝0，解得x＝－3，∴B(－3，－6)． 【对点训练】 1．已知向量a＝(m，4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________． 2．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(λ，－1)，若c∥(2a＋b)，则λ等于(　　) A．－2　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D． 3．已知向量a＝(3，1)，b＝(1，3)，c＝(k，7)，若(a－c)∥b，则k＝________． 4．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________． 5．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝(　　) A．4　　　　　　　　　B．－5　　　　　　　　C．6