专题二 平面向量的数量积-2022年高考数学之解密平面向量命题点对点突破（全国通用）

专题二　平面向量的数量积 1．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角． (2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°． (3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直． 2．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0． 投影向量：向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ＝． (2)坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)；(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 4．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2．(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2． 考点一　求平面向量数量积 【方法总结】 平面向量数量积的两种求法 (1)若已知向量的模和夹角时，则利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos<a，b>．若未知向量的模和夹角时，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量积进行求解； (2)若已知向量的坐标时，则利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．若未知向量的坐标时，如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标进行求解． 【例题选讲】 [例1](1)(2018·全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．0 答案　B　解析　a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×1－(－1)＝3． (2)若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝(　　) A．0　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．－ 答案　D　解析　由题意得2k－1－4k＝0，解得k＝－，即m＝，所以m·n＝－2×4＋×1＝－． (3)如图，已知非零向量与满足(＋)·＝0，且|－|＝2，|＋|＝2，点D是△ABC中边BC的中点，则·＝________． 答案　－3　解析　由(＋)·＝0得与∠A的平分线所在的向量垂直，所以AB＝AC，⊥．又|－|＝2，所以||＝2，所以||＝，·＝||||cos(π－B)＝··(－cos B)＝3×(－)＝－3． (4)(2016·天津)如图，已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　) A．－　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 答案　B　解析　由条件可知＝－，＝＋＝＋＝＋，所以·＝(－)·(＋)＝2－·－2．因为△ABC是边长为1的等边三角形，所以||＝||＝1，∠BAC＝60°，所以·＝－－＝． (5)(2018·天津)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则·的值为(　　) A．－15　　　　　　　　B．－9　　　　　　　　C．－6　　　　　　　　D．0 答案　C　解析　连接OA．在△ABC中，＝－＝3－3＝3(－)－3(－)＝3(－)，∴·＝3(－)·＝3(·－2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6． (6)在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·等于(　　) A．16　　　　　　　　B．12　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．－4 答案　A　解析　以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，A(4，0)，B(0，0)，C(0，6)，D(2，3)．设E(0，t)，·＝(2，3)·(－4，t)＝－8＋3t＝0，∴t＝，即E，·＝·(0，6)＝16． (7)已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则·＋·＝________． 答案　4　解析　由题意可建立如图所示的坐标系．可得A(2，0)，B(0，2)，P(1，1)，C(0，0)，则·＋·＝(1，1)·(0，2)＋(1，1)·(2，0)＝2＋2＝4． (8)如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·＝(　　) A．1