专题一 平面向量的线性运算-2022年高考数学之解密平面向量命题点对点突破（全国通用）

专题一　平面向量的线性运算 1．向量的线性运算 向量运算 加法 减法 数乘 几何表示 首尾相接 指向终点 起点重合 指向对顶点 起点重合 指向被减向量 (1)|λa|＝|λ||a|， (2)当λ＞0时， λa与a的方向相同； 当λ＜0时， λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 坐标表示 a＝(x1，y1) b＝(x2，y2) a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) a－b＝(x1－x2，y1－y2) λa＝(λx1，λy1) 2．多边形法则 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 3．平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}． 4．“爪”子定理 形式1：在△ABC中，D是BC上的点，如果|BD|＝m，|DC|＝n，则＝＋，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则＝(＋)． 　　　　　 形式2：在△ABC中，D是BC上的点，且＝λ，则＝λ＋(1－λ)，其中，，知二可求一．特别地，若D为线段BC的中点，则＝(＋)． 形式1与形式2中与的系数的记忆可总结为：对面的女孩看过来(歌名，原唱任贤齐) 考点一　向量的线性运算 【方法总结】 利用平面向量的线性运算把一个向量表示为两个基向量的一般方法 向量＝f(，)的确定方法 (1)在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”子定理完成向量用，的表示． (2)若所给图形比较特殊(正方形、矩形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形等)，则可通过建系将向量坐标化，从而得到＝f(，)与＝g(，)的方程组，再进行求解． 【例题选讲】 [例1](1)(2015·全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　) A．＝－＋　　　　　　　　　　B．＝－　　 C．＝＋　　　　　　　　　　　D．＝－ 答案　A　解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋，故选A． (2) (2014·全国Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　) A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 答案　A　解析　＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝，故选A． (3) (2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A．－　　　　B．－　　　　C．＋　　　　D．＋ 答案　A　解析　∵E是AD的中点，∴＝－，∴＝＋＝－＋，又知D是BC的中点，∴＝(＋)，因此＝－(＋)＋＝－． (4)如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE，则用向量，表示为(　　) A．＋　　　　　B．－　　　　　C．＋　　　　　D．－ 答案　B　解析　由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得＝－＝－＝(＋)－＝－＝－． (5)如图所示，下列结论正确的是(　　) ①＝a＋b；②＝a－b；③＝a－b；④＝a＋b． A．①②　　　　　　　　B．③④　　　　　　　　C．①③　　　　　　　　D．②④ 答案　C　解析　①根据向量的加法法则，得＝a＋b，故①正确；②根据向量的减法法则，得＝a－b，故②错误；③＝＋＝a＋b－2b＝a－b，故③正确；④＝＋＝a＋b－b＝a＋b，故④错误，故选C． (6)如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于M，设＝a，＝b．则用a和b表示向量＝___________． 答案　＝a＋b　解析　设＝ma＋nb，则＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb．＝－＝－＝－a＋b．又∵A、M、D三点共线，∴与共线．∴存在实数t，使得＝t，即(m－1)a＋nb＝t．∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb．∴消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1．①．又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b．又∵C、M、B三点共线，∴与共线．∴存在实数t1，使得＝t1，∴a＋nb＝t1，∴消去t1得，4m＋n＝1，②．由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b． 另解　因为A，M，D三点共线，所以＝λ1＋(1－λ1)＝λ1b＋(1－λ1)a，①，因为C，M，B三点共线，所以＝λ2＋(1－λ2)＝λ2b＋()a，②，由①②可得解得故＝a＋b． (7)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b　　　　　B．a＋b　　　　　C．a＋b　　　　　D．a＋b 答案　B　解析　如图，根据题意，得＝＋＝(a－b