专题十八 函数的零点问题(5)-2022年高考数学之解密函数命题点对点突破（全国通用）

专题十八　函数的零点问题(5) 考点一　确定复合函数零点的个数或方程解的个数 【方法总结】 确定复合函数零点的个数或方程解的个数问题：关于复合函数y＝f(g(x))的零点的个数或方程解的个数问题，先换元解套，令t＝g(x)，则y＝f(t)，再作出y＝f(t)与t＝g(x)的图像．由y＝f(t)的图象观察有几个t的值满足条件，结合t的值观察t＝g(x)的图象，求出每一个t被几个x对应，将x的个数汇总后即为y＝f(g(x))的根的个数，即“从外到内”．此法称为双图象法(换元法＋数形结合)． 【例题选讲】 [例1]　(1)奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝(　　) A．3　　　　　　　　B．7　　　　　　　　C．10　　　　　　　　D．14 答案　C　解析　由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，g＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，f＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7．又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点，即n＝3．所以m＋n＝10，选择C． (2)关于x的方程(x2－1)2－3|x2－1|＋2＝0的不相同实根的个数是(　　) A．3　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．8 答案　C　解析　可将|x2－1|视为一个整体，即t＝|x2－1|，则方程变为t2－3t＋2＝0可解得，t＝1或t＝2，则只需作出t(x)＝|x2－1|的图像，然后统计与t＝1与t＝2的交点总数即可，共有5个． (3)已知f(x)＝则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________． 答案　5　解析　由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1，作出函数y＝f(x)的图象．由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个． (4)已知定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝则关于x的方程6f2(x)－f(x)－1＝0的实数根个数为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 答案　B　解析　已知方程6f2(x)－f(x)－1＝0可解，得f1(x)＝，f2(x)＝－，只需统计y＝，y＝－与y＝f(x)的交点个数即可．由奇函数可先做出x>0的图像，x>2时，f(x)＝f(x－2)，则x∈(2，4]的图像只需将x∈(0，2]的图像纵坐标缩为一半即可．正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像．通过数形结合可得共有7个交点． 在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间． 【对点训练】 1．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2，2]的图像如下，给出下列四个命题： (1)方程f[g(x)]＝0有且只有6个根；(2)方程g[f(x)]＝0有且只有3个根； (3)方程f[f(x)]＝0有且只有5个根；(4)方程g[g(x)]＝0有且只有4个根． 　　　　　　　　 则正确命题的个数是(　　) A．1　　　　　　　　　B．2　　　　　　　　　C．3　　　　　　　　　D．4 1．答案　C　解析　每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出的总 数．(1)中可得g1(x)∈(－2，－1)，g2(x)＝0，g3(x)∈(1，2)，进而g1(x)有2个对应的x，g2(x)有2个，g3(x)有2个，总计6个，(1)正确；(2)中可得f1(x)∈(－2，－1)，f2(x)∈(0，1)，进而f1(x)有1个对应的x，f2(x)有3个，总计4个，(2)错误；(3)中可得f1(x)∈(－2，－1)，f2(x)＝0，f3(x)∈(1，2)，进而f1(x)有1个对应的x，f2(x)有3个，f3(x)有1个，总计5个，(3)正确；(4)中可得g1(x)∈(－2，－1)，g2(x)∈(0，1)，进而g1(x)有2个对应的x，g2(x)有2个，共计4个，(4)正确．则综上所述，正确的命题共有3个． 2．已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)的零点个数为________． 2．答案　5　解析　令y＝2f2(x)－3f(x)＝0，则f(x)＝0或f(x)＝．函数f(x)＝的图象如图所 示：由图可得，f(x)＝0有2个根，f(x)＝有3个根，故函数y＝2f2(x)－3f(x)的零点个数为5． 3．设定义域为R的函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有3个不