专题十七 函数的零点问题(4)-2022年高考数学之解密函数命题点对点突破（全国通用）

专题十七 函数的零点问题(4) 考点一　与零点相关的等式问题 【方法总结】 与零点相关的等式问题：可将零点问题转化成方程问题，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像．观察交点的特点(比如对称性等)并选择合适的方法处理表达式的值．即利用对称性解决对称点求和：如果x1，x2关于x＝a轴对称，则x1＋x2＝2a；如果x1，x2关于(a，0)中心对称，则也有x1＋x2＝2a．将对称的点归为一组，从而解决问题． 【例题选讲】 [例1](1)已知函数f(x)＝ex－e－x＋4，若方程f(x)＝kx＋4(k>0)有三个不同的实根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________． 答案　0　解析　方程f(x)＝kx＋4(k>0)有三个不同的实根，即方程ex－e－x＝kx有三个不同的实根，易知y＝ex－e－x为奇函数且递增，得y＝f(x)的图象．所以y＝f(x)的图象关于点(0，0)对称，又y＝kx过点(0，0)且关于(0，0)对称．∴方程ex－e－x＝kx的三个根中有一个为0，且另两根之和为0．因此x1＋x2＋x3＝0． (2)已知函数f(x)＝x2－3x＋－8cosπ(－x)，则函数f(x)在(0，＋∞)上的所有零点之和为(　　) A．6　　　　　　　　B．7　　　　　　　　C．9　　　　　　　　D．12 答案　A　解析　h(x)＝x2－3x＋＝(x－)2＋1的图象关于x＝对称，设函数g(x)＝8cosπ(－x)．由π(－x)＝kπ，可得x＝－k(k∈Z)，令k＝－1可得x＝，所以函数g(x)＝8cosπ(－x)的图象也关于x＝对称．当x＝时，h()＝2<g()＝8，作出函数h(x)，g(x)的图象．由图可知函数h(x)＝x2－3x＋＝(x－)2＋1的图象与函数g(x)＝8cos(π－x)的图象有四个交点，所以函数f(x)＝x2－3x＋－8cos(π－x)在(0，＋∞)上的零点个数为4，所有零点之和为4×＝6，故选A． (3)已知函数f(x)对任意的x∈R，都有f(＋x)＝f(－x)，函数f(x＋1)是奇函数，当－≤x≤时，f(x)＝2x，则方程f(x)＝－在区间[－3，5]内的所有根的和为________． 答案　4　解析　∵函数f(x＋1)是奇函数，∴函数f(x＋1)的图象关于点(0，0)对称，把函数f(x＋1)的图象向右平移1个单位可得函数f(x)的图象，即函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(2－x)＝－f(x)．又∵f(＋x)＝f(－x)，∴f(1－x)＝f(x)，从而f(2－x)＝－f(1－x)，∴f(x＋1)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为2，且图象关于直线x＝对称．画出函数f(x)的图象如图所示． ∴结合图象可得方程f(x)＝－在区间[－3，5]内有8个根，且所有根之和为×2×4＝4． (4)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＝，且f(x＋2)＝f(x)，g(x)＝，则方程f(x)＝g(x)，在区间[－5，1]上的所有实根之和为(　　) A．－5　　　　　　　　B．－6　　　　　　　　C．－7　　　　　　　　D．－8 答案　C　解析　先做图观察实根的特点，在[－1，1)中，通过作图可发现f(x)在(－1，1)关于(0，2)中心对称，由f(x＋2)＝f(x)可得f(x)是周期为2的周期函数，则在下一个周期(－3，－1)中，f(x)关于(－2，2)中心对称，以此类推.从而做出f(x)的图像（此处要注意区间端点值在何处取到），再看g(x)图像，g(x)＝＝2＋，可视为将y＝的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位，所以对称中心移至(－2，2)，刚好与f(x)对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点x1<x2<x3，其中x2＝－3，x1与x3关于(－2，2)中心对称，所以有x1＋x3＝－4．所以x1＋x2＋x3＝－7． (5)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝－2x＋1，设函数g(x)＝|x－1|(－1≤x≤3)，则函数f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为(　　) A．2　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．6　　　　　　　　D．8 答案　B　解析　∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴f(x)的周期为2．又f(x)为偶函数，∴f(1－x)＝f(x－1)＝f(x＋1)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称．又g(x)＝|x－1|(－1≤x≤3)的图象关于直线x＝1对称，作出f(x)和g(x)的图象如图所示． 由图象可知两函数图象在[－1，3]上共有4个交点，分别记从左到右各交点的横坐标为x1，x2，x3，x4，可知x＝x1与x＝x4，x＝x