专题十六 函数的零点问题(3)-2022年高考数学之解密函数命题点对点突破（全国通用）

专题十六 函数的零点问题(3) 考点一　已知y＝f(x)±b型函数零点的情况，求参数b的取值范围 【方法总结】 已知零点的情况，求参数b的取值范围要大致画出y＝f(x)的图象，有的题需要用导数处理才能画出图象，再画出y＝±b的图象，使得满足条件，求出b的取值范围．对于不是y＝f(x)±b型函数需先分离参数转化为该种类型去求解． 【例题选讲】 [例1](1)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是________． 答案　　解析　作出函数f(x)的图象如图所示．当x≤0时，f(x)＝x2＋x＝2－≥－，若函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，则－<m≤0，即实数m的取值范围是． (2)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是________． 答案　(－1，0)　解析　关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1，0)． (3)已知0<a<1，k≠0，函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，则实数k的取值范围是________． 答案　(0，1)　解析　函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，即f(x)－k＝0有两个解，即y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点．分k>0和k<0作出函数f(x)的图象．当0<k<1时，函数y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点；当k＝1时，有一个交点；当k>1或k<0时，没有交点，故当0<k<1时满足题意． (4)对任意实数a，b定义运算“⊗”：a⊗b＝设f(x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数g(x)＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点，则k的取值范围是________． 答案　[－2，1)　解析　解不等式x2－1－(4＋x)≥1，得x≤－2或x≥3，所以f(x)＝函数g(x)＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点转化为 函数f(x)的图象和直线y＝－k恰有三个不同的交点．作出函数f(x)的图象如图所示，所以－1＜－k≤2，故－2≤k＜1． (5)已知a>－1，函数f(x)＝若存在t使得g(x)＝f(x)－t有三个零点，则a的取值范围是(　　) A．(－1，0)　　　　　B．(0，1)　　　　　C．(1，＋∞)　　　　　D．(0，＋∞) 答案　C　解析　如图，作出函数y＝x2和y＝log2(x＋1)的图象，从图中可以看出，在点O(0，0)和点A(1，1)处两函数图象有交点，显然，要使g(x)＝f(x)－t有三个零点，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝t有三个交点，显然，只有当a>1时，才可能有三个交点，故选C． 【对点训练】 1．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围 是________． 2．已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，3) 　　　　　B．(0，3)　　　　　C．(0，2)　　　　　D．(0，1) 3．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是______． 4．已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(x)－a2＋a＋1(a∈R)总有零点时，a的取值范围是(　　) A．(－∞，0)∪(1，＋∞)　　B．[－1，2)　　C．[－1，0]∪(1，2]　　D．[0，1] 5．已知f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数，又函数f(x)＝．若f(x)＝a在[－e， 4]上有6个零点，则实数a的取值范围是________． 6．已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是______． 7．(2016·山东)已知函数f(x)＝其中m>0．若存在实数b，使得关于x的方程f(x) ＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________． 考点二　已知y＝f(x)±g(x，a)型函数零点的个数，求参数a的取值范围 【方法总结】 已知y＝f(x)±g(x，a)型函数零点的情况，求参数a的取值范围的问题多数题都是y＝f(x)为周期函数，先画出的y＝f(x)图象，再画出y＝±g(x，a)的图象．然后根据零点的情况，建立参数a的不等式．如等． 【例题选讲】 [例2]　(1)(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a．若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　) A．[－1，0) 　　　　　B．[0，＋∞)　　　　　C．[－1，＋∞)　　　　　D．[1，＋∞) 答案　C　解析　函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与