专题十五 函数的零点问题(2)-2022年高考数学之解密函数命题点对点突破（全国通用）

专题十五　函数的零点问题(2) 考点一　复杂函数(方程)零点(解)的个数判断 【方法总结】 复杂函数(方程)的零点的个数(方程的解)的判断多采用数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图象的，常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题．即将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断．但其中一个函数往往比较复杂，可能涉及到函数的奇偶性周期性等函数的性质，需要有强大的画图能力． 【例题选讲】 [例1]　(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x>0时，f(x)＝ln x－x＋1，则函数g(x)＝f(x)－ex(e为自然对数的底数)的零点个数是(　　) A．0　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3 答案　C　解析　当x>0时，f(x)＝ln x－x＋1，f′(x)＝－1＝，所以x∈(0，1)时f′(x)>0，此时f(x)单调递增；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减．因此，当x>0时，f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f(x)是定义在R上的奇函数作出函数y＝f(x)与y＝ex的大致图象如图所示，观察到函数y＝f(x)与y＝ex的图象有两个交点，所以函数g(x)＝f(x)－ex(e为自然对数的底数)有2个零点． (2)已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是(　　) A．9　　　　　　　　B．10　　　　　　　　C．11　　　　　　　　D．18 答案　B　解析　在坐标平面内画出y＝f(x)与y＝|lg x|的大致图象如图，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是10． (3)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝－1，则在区间(－2，6)上关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0的解的个数为(　　) A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．4 答案　C　解析　原方程等价于y＝f(x)与y＝log8(x＋2)的图象的交点个数问题，由f(x＋2)＝f(2－x)，可知f(x)的图象关于x＝2对称，再根据f(x)是偶函数这一性质，可由f(x)在[－2，0]上的解析式，作出f(x)在(0，2)上的图象，进而作出f(x)在(－2，6)上的图象，如图所示． 再在同一坐标系下，画出y＝log8(x＋2)的图象，注意其图象过点(6，1)，由图可知，两图象在区间(－2，6)内有三个交点，从而原方程有三个根，故选C． (4)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有(　　) A．3个　　　　　　　　B．2个　　　　　　　　C．1个　　　　　　　　D．0个 答案　B　解析　由f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x＋2)＝f(x)，知y＝f(x)的周期T＝2．在同一坐标系中作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象(如图)．由于两函数图象有2个交点．所以函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内有2个零点． (5)若函数f(x)的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B两点为一对“优美点”，记作(A，B)，规定(A，B)和(B，A)是同一对“优美点”．已知f(x)＝则函数f(x)的图象上共存在“优美点”(　　) A．14对　　　　　　　　B．3对　　　　　　　　C．5对　　　　　　　　D．7对 答案　D　解析　与y＝－lg (－x)的图象关于原点对称的函数是y＝lg x，函数f(x)的图象上的优美点的对数，即方程|cosx|＝lg x(x>0)的解的个数，也是函数y＝|cosx|与y＝lg x的图象的交点个数，如图，作函数y＝|cosx|与y＝lg x的图象，由图可知，共有7个交点，函数f(x)的图象上存在“优美点”共有7对．故选D． 【对点训练】 1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　) A．{1，3}　　　　B．{－3，－1，1，3}　　　　C．{2－，1，3}　　　　D．{－2－，1，3} 2．f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2 020x＋log2 020x，则函数f(x)的零点个数是 __________． 3．已知函数f(x)是偶函数，f(0)＝0，且x>0时，f(x)是增函数，f(3)＝0，则函数g(x)＝f(x)＋lg|x＋1|的零点 个数为