专题十三 指数函数与对数函数-2022年高考数学之解密函数命题点对点突破（全国通用）

专题十三　指数函数 考点一　指数函数的图象及应用 【基本知识】 1．指数函数的定义 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． 2．指数函数的图象 函数 y＝ax(a>0，且a≠1) 0<a<1 a>1 图象 图象特征 在x轴上方，过定点(0，1) 当x逐渐增大时，图象逐渐下降 当x逐渐增大时，图象逐渐上升 【常用结论】 1．指数函数图象的画法 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，和一条渐近线y＝0． 2．底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”． 3．函数y＝ax与y＝x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称． 4．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．简称“底大图高”． 考向1　指数函数图象辨析 【方法总结】 有关指数函数图象辨析及图象应用的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过底大图高进行判断． 【例题选讲】 [例1] (1) 函数f(x)＝21－x的大致图象为(　　) 答案　A　解析　函数f(x)＝21－x＝2×x，单调递减且过点(0，2)，选项A中的图象符合要求． (2) 函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　) 答案　A　解析　因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质． (3) 函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0　　　　B．a>1，b>0　　　　C．0<a<1，b>0　　　　D．0<a<1，b<0 答案　D　解析　由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1，函数f(x)＝ax－b的图象是在y＝ax的图象的基础上向左平移得到的，所以b<0． (4) 已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　) 　　 答案　C　解析　由函数f(x)的图象可知，－1＜b＜0，a＞1，则g(x)＝ax＋b为增函数，当x＝0时，g(0)＝1＋b＞0，故选C． (5) 已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是(　　) 答案　B　解析　|f(x)|＝|2x－2|＝易知函数y＝|f(x)|的图象的分段点是x＝1，且过点(1，0)，(0，1)，．又|f(x)|≥0，所以B项正确．故选B． 考向2　指数函数图象的应用 【方法总结】 一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解． [例2] (1) 若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________． 答案　(－∞，0]　解析　函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示． 由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]． (2) 若函数y＝21－x＋m的图象不经过第一象限，则m的取值范围为________． 答案　(－∞，－2]　解析　y＝21－x＋m＝x－1＋m，函数y＝x－1的图象如图所示，则要使其图象不经过第一象限，则m≤－2．故m的取值范围为(－∞，－2]． (3) 已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________． 答案　　解析　①当0<a<1时，作出函数y＝|ax－2|的图象如图(1)．若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(0<a<1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，所以0<a<． ②当a>1时，作出函数y＝|ax－2|的图象如图(2)，若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a>1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，此时无解．所以实数a的取值范围是． (4) 若存在负实数使得方程2x－a＝成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，＋∞)　　　　B．(0，＋∞)