专题十二 指数式、对数式的运算-2022年高考数学之解密函数命题点对点突破（全国通用）

专题十二　指数式、对数式的运算 考点一　指数式的运算 【基本知识】 1．根式 (1)根式的概念 若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*．式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)a的n次方根的表示 xn＝a⇒ (3)根式的性质 ①()n＝a(a使有意义)． ②当n是奇数时，＝；当n是偶数时，＝|a|＝ 2．有理数指数幂 (1)分数指数幂的意义 ①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ②负分数指数幂：a＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)； ③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 注意：(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算． (2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂． 【方法总结】 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一． 【例题选讲】 [例1] 计算：(1) 0＋2－2·－(0.01)0.5＝________； 答案　　解析　原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝． (2) (0.027)－－－2＋－(－1)0＝________； 答案　－45　解析　原式＝－－72＋－1＝－49＋－1＝－45． (3) ÷＝________； 答案　1　解析　原式＝(aa－)÷(a－a)＝(a3)÷(a2)＝a÷a＝1． (4) ab－2·(－3a－b－1)÷(4ab－3)(a，b>0) ＝________； 答案　－　解析　原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－＝－·＝－． (5) 若x＋x＝3，则＝________． 答案　　解析　由x＋x＝3，得x＋x－1＋2＝9，所以x＋x－1＝7，所以x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47．因为x＋x＝(x＋x)3－3(x＋x)＝27－9＝18，所以原式＝＝． 【对点训练】 1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　) A．(－2)－2＝4　　　　B．2a－3＝　　　　C．(－2)0＝－1　　　　D．(a)4＝ 2．化简4a·b－÷(－)a－·b的结果为(　　) A．－　　　　　　　　B．－　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．－6ab 3．()4()4(a>0)等于(　　) A．a16　　　　　　　　B．a8　　　　　　　　C．a4　　　　　　　　D．a2 4．已知2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　) A．　　　　　　　　B．10　　　　　　　　C．20　　　　　　　　D．100 5．计算：－－2＋＋(0.002)＝________． 6．化简：·(a＞0，b＞0)＝________． 7．＋0.002－－10(－2)－1＋π0＝________． 8．若x>0，则(2x＋3)(2x－3)－4x (x－x)＝________． 9． －－π0＝________． 10．已知＋b＝1，则＝________． 11．计算下列各式： (1)；(2) ÷． 12．计算： (1)7－3－6＋； (2)－－1×－10× ． 考点二　对数式的运算 【知识梳理】 1．对数的概念 (1)对数的定义 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) logaN 常用对数 底数为10 lgN 自然对数 底数为e lnN 2．对数恒等式 alogaN＝N (a>0且a≠1，N>0)． 3．对数的性质 (1)1的对数是零，即loga1＝0(a>0且a≠1)； (2)底数的对数等于，即logaa＝1(a>0且a≠1)； (3)负数和零没有对数． 4．对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)； 5．对数的换底公式及推广 换底公式：logbN＝(a，b均大于零，且不等于1)； 推广：(1)logab·logba＝1