专题十一 幂函数-2022年高考数学之解密函数命题点对点突破（全国通用）

专题十一　幂函数 1．幂函数的概念 一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数． 2．五种常见幂函数的图象与性质 函数特征性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (－∞，0)减， (0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和 (0，＋∞)减 公共点 (1，1) 3．常用结论 幂函数的图象特征与性质 对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义； (2)幂函数的图象过定点(1，1)； (3)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增，特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (4)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减； (5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． (6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． (7)对于形如f(x)＝xα(其中α∈Z)，当α为奇数时，幂函数为奇函数，图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数为偶函数，图象关于y轴对称． (8)对于形如f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数的奇偶性： ①当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称； ②当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称； ③当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)． 考点一　幂函数的图象及其应用 【方法总结】 幂函数图象的规律 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性； (2)幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内； (3)如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点； (4)当α为奇数时，幂函数的图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数的图象关于y轴对称． 【例题选讲】 [例1] (1)若幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是(　　) A．－1≤m≤2　　　　B．m＝1或m＝2　　　　C．m＝2　　　　D．m＝1 答案　B　解析　由幂函数性质可知m2－3m＋3＝1，∴m＝1或m＝2．又幂函数图象不过原点，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝1或m＝2． (2) 幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　) 答案　C (3) 若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1　　　　B．－1<n<0<m　　　　C．－1<m<0<n　　　　D．－1<n<0<m<1 答案　D　解析　幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，∴－1<n<0，综上所述，故选D． (4)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A．－2，－，，2　　B．2，，－，－2　　C．－，－2，2，　　D．2，，－2，－ 答案　B　解析　根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2． (5)幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，则幂函数y＝x的图象经过的“卦限”是(　　) A．④，⑦　　　　B．④，⑧　　　　C．③，⑧　　　　D．①，⑤ 答案　D　解析　由y＝x＝知其经过“卦限”①⑤，故选D． (6) 当0＜x＜1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2，则f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是________________． 答案　h(x)＞g(x)＞f(x)　解析　分别作出y＝f(x)，y＝g(x)，y＝h(x)的图象如图所示，可知h(x)＞g(x)＞f