专题十 函数的图象及应用-2022年高考数学之解密函数命题点对点突破（全国通用）

专题十　函数图象的应用 考点一　利用函数图象研究函数的性质 【方法总结】 利用图象研究函数性质问题的思路 对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： 【例题选讲】 [例1] (1) 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)　　　B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)　　　D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0) 答案　C　解析　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图， 观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减． (2) 设函数y＝，关于该函数图象的命题如下： ①一定存在两点，这两点的连线平行于x轴；②任意两点的连线都不平行于y轴；③关于直线y＝x对称；④关于原点中心对称． 其中正确的是(　　) A．①②　　　　　　　　B．②③　　　　　　　　C．③④　　　　　　　　D．①④ 答案　B　解析　y＝＝＝2＋，图象如图所示，可知②③正确． (3) 已知函数f(x)＝若f(x)在区间[m，4]上的值域为[－1，2]，则实数m的取值范围为________． 答案　[－8，－1]　解析　作出函数f(x)的图象，当x≤－1时，函数f(x)＝log2单调递减，且最小值为f(－1)＝－1，则令log2＝2，解得x＝－8；当x>－1时，函数f(x)＝－x2＋x＋在(－1，2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为f(2)＝2，又f(4)＝<2，f(－1)＝－1，故所求实数m的取值范围为[－8，－1]． (4) 对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________． 答案　　解析　函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为． (5) 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝1－x，则说法：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1，2)上递减，在(2，3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3，4)时，f(x)＝x－3． 其中所有正确说法的序号是________． 答案　①②④　解析　由已知条件得f(x＋2)＝f(x)，所以y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝1＋x，函数y＝f(x)的图象如图所示： 当3<x<4时，－1<x－4<0，f(x)＝f(x－4)＝x－3，因此②④正确，③不正确． 考点二　利用函数图象解决方程根的问题 【方法总结】 利用函数的图象解决方程根问题的思路 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标． 【例题选讲】 [例2] (1)已知函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5，则方程f(x)＝g(x)的根的个数为(　　) A．0　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．3 答案　C　解析　由已知g(x)＝(x－2)2＋1，得其顶点为(2，1)，又f(2)＝2ln 2∈(1，2)，可知点(2，1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象有2个交点． (2) 已知函数f(x)满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1，1]时，f(x)＝－|x|＋1．则方程f(x)＝log2|x|在区间[－3，5]内解的个数是(　　) A．5　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．7　　　　　　　　D．8 答案　A　解析　依题意画出y＝f(x)与y＝log2|x|的图象如图所示，由图可知，解的个数为5． (3) 已知f(x)＝则方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解的个数为________． 答案　5　解析　方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或f(x)＝1.作出y＝f(x) 的图象，由图象知直线y＝与函数y＝f(x)的图象有2个公共点；直线y＝1与函数y＝f(x)的图象有3个公共点．故方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0有5个解． (4) 已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx．若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　) A．　　　　　　B．　　　　　　C．(1，2)　　　　　　　D．