专题九 函数的奇偶性、周期性与单调性的综合问题-2022年高考数学之解密函数命题点对点突破（全国通用）

专题九　函数的奇偶性、周期性与单调性的综合问题 函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．主要题型有奇偶性、周期性及单调性的判断，比较大小以及多结论的正误判断等． 考点一　奇偶性、周期性与单调性的判断 【方法总结】 对于函数奇偶性、周期性与单调性的判断问题主要是应用奇偶性、周期性与单调性的定义及相关结论解决．当然对于选填题也可用特值法秒杀． 【例题选讲】 [例1](1)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数　　B．f(x)是增函数　　C．f(x)是周期函数　　D．f(x)的值域为[－1，＋∞) 答案　D　解析　因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，排除A；因为函数f(x)在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x>0时，f(x)>1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)． (2)已知函数f(x)＝loga(ax＋1)＋x(a>0且a≠1)，则(　　) A．f(x)图象关于原点对称　　　　　　　　　　B．f(x)图象关于y轴对称 C．f(x)在R上单调递增　　　　　　　　　　　D．f(x)在R上单调递减 答案　C　解析　∵f(x)＋f(－x)≠0，f(x)－f(－x)≠0，可知f(x)为非奇非偶函数，故排除A，B；当a>1时，u＝ax＋1在R上单调递增，y＝logau在(1，＋∞)上单调递增，且y＝x在R上单调递增，∴f(x)在R上单调递增；当0<a<1时，u＝ax＋1在R上单调递减，y＝logau在(1，＋∞)上单调递减，且y＝x在R上单调递增，∴f(x)在R上单调递增，故选C． 【对点训练】 1．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)＝f(x＋6)，当x∈[0，3]时，f(x)单调递增，则f(x)在下 列哪个区间上单调递减(　　) A．[3，7]　　　　　　　B．[4，5]　　　　　　　C．[5，8]　　　　　　　D．[6，10] 2．定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝(1－x)，则f(x)在区间内 是(　　) A．减函数且f(x)>0　　B．减函数且f(x)<0　　C．增函数且f(x)>0　　D．增函数且f(x)<0 3．已知函数f(x)＝ex－1－e－x＋1，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期是1　　　　　　　　B．函数f(x)是单调递减函数 C．函数f(x)的图象关于直线x＝1轴对称　　　D．函数f(x)的图象关于(1，0)中心对称 4．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝，若f(x)在[－1，0]上是减函数，那么f(x)在[2， 3]上是(　　) A．增函数　　　　B．减函数　　　　C．先增后减的函数　　　　D．先减后增的函数 5．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，当x∈(0，1)时，f(x)＝则f(x) 在区间内是(　　) A．增函数且f(x)>0　　B．增函数且f(x)<0　　C．减函数且f(x)>0　　D．减函数且f(x)<0 6．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)是偶函数　　　　　　　　　　B．函数f(x)是减函数　 C．函数f(x)是周期函数　　　　　　　　　D．函数f(x)的值域为[－1，＋∞) 考点二　比较函数值的大小 【方法总结】 比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．同时要充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性． 【例题选讲】 [例2](1)已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0，1]上是单调递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　) A．f(0)<f(－6.5)<f(－1)　　　　　　　　　　　　B．f(－6.5)<f(0)<f(－1) C．f(－1)<f(－6.5)<f(0)　　　　　　　　　　　　D．f(－1)<f(0)<f(－6.5) 答案　A　解析　由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2．∵函数f(x)为偶函数，∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．∵f