专题18—解三角形（5）—实际应用问题-近8年高考真题分类汇编—2022届高三数学一轮复习

专题18—解三角形（5）—实际应用问题 考试说明：1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角 形度量问题。 2、 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何有关的实际问题 高频考点：1、边角的求解； 2、判断三角形的形状； 3、 求与面积、范围有关的问题； 4、 解决平面几何图形问题； 5、 解决实际问题。 高考中，利用正弦、余弦定理解三角形问题是必考的，题型较多，有基础题，比如直接利用定理解三角形，也有难题，比如求范围的问题，出题比较灵活，一些同学总是掌握的不是很好，下面就近几年高考题，给大家分类整理各种题型，希望对大家有所帮助。 1、 典例分析 题型五：利用正余弦定理解决实际应用问题 1．（2021•乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的差”，则海岛的高 　　 A． 表高 B． 表高 C． 表距 D． 表距 2．（2014•四川）如图，从气球 上测得正前方的河流的两岸 ， 的俯角分别为 ， ，此时气球的高度是 ，则河流的宽度 等于 　　 A． B． C． D． 3．（2014•上海）某货船在 处看灯塔 在北偏东 方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航行，经过40分钟到达 处，看到灯塔 在北偏东 方向，此时货船到灯塔 的距离为　　海里． 4．（2014•新课标Ⅰ）如图，为测量山高 ，选择 和另一座的山顶 为测量观测点，从 点测得 点的仰角 ， 点的仰角 以及 ；从 点测得 ，已知山高 ，则山高 　　 ． 5．（2014•四川）如图，从气球 上测得正前方的河流的两岸 ， 的俯角分别为 ， ，此时气球的高是 ，则河流的宽度 约等于　　 ．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据： ， ， ， ， 6．（2021•甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位： ，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有 ， ， 三点，且 ， ， 在同一水平面上的投影 ， ， 满足 ， ．由 点测得 点的仰角为 ， 与 的差为100；由 点测得 点的仰角为 ，则 ， 两点到水平面 的高度差 约为 　　 A．346 B．373 C．446 D．473 二、真题集训 1．（2015•上海）如图， ， ， 三地有直道相通， 千米， 千米， 千米．现甲、乙两警员同时从 地出发匀速前往 地，经过 小时，他们之间的距离为 （单位：千米）．甲的路线是 ，速度为5千米 小时，乙的路线是 ，速度为8千米 小时．乙到达 地后原地等待．设 时乙到达 地． （1）求 与 的值； （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当 时，求 的表达式，并判断 在 ， 上的最大值是否超过3？说明理由． 2．（2014•上海）如图，某公司要在 、 两地连线上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长35米， 长80米，设点 、 在同一水平面上，从 和 看 的仰角分别为 和 ． （1）设计中 是铅垂方向，若要求 ，问 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （2）施工完成后， 与铅垂方向有偏差，现在实测得 ， ，求 的长（结果精确到0.01米）． 3．（2013•江苏）如图，游客从某旅游景区的景点 处下山至 处有两种路径．一种是从 沿直线步行到 ，另一种是先从 沿索道乘缆车到 ，然后从 沿直线步行到 ．现有甲、乙两位游客从 处下山，甲沿 匀速步行，速度为 ．在甲出发 后，乙从 乘缆车到 ，在 处停留 后，再从 匀速步行到 ．假设缆车匀速直线运动的速度为 ，山路 长为 ，经测量， ， ． （1）求索道 的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 典例分析答案 题型五：利用正余弦定理解决实际应用问题 1．（2021•乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的差”，则海岛的高 　　 A． 表高 B． 表高 C． 表距 D． 表距 分析:根据相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系即可得出． 解答:解： ， ，故 ，即 ， 解得 ， ， 故 表高． 故选： ． 点评:本题考查了相似三角形的性质、比例的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档